最后更新: 2025-07-28 07:37 查看: 617 次反馈同步训练

泰勒公式

## 多项式逼近函数
对一些较复杂的函数，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达. 比如，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ ， 即 $\sin x=x+o(x)$. 也就是当$x$足够小时，$\sin x$ 可以用$x$来近似，但是对于 $o(x)$ ，我们非常好奇，它究竟是 $x$ 的几阶无穷小? 能不能再精确一些?

如果我们事先约定允许的误差范围， 能不能找到对应的简单多项式，使得 $\sin x=a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots+a_n x^n+o\left(x^n\right)$ ?  如果这个多项式存在，那么这个多项式的系数和函数之间存在什么关系? 这一节就来探讨这个问题.

假设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间内具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，取一个关于 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式

$$
P_n(x)=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n
$$

来近似表达函数 $f(x)$ ，要求 $f(x)-P_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)$.
假设 $P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ， P_n^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right) ， P_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \quad ， \ldots \ldots$ ， $P_n^{(n)}\left(x_0\right)=f^{(n)}\left(x_0\right)$.
则可按这些条件来确定多项式中的系数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$.

由 $P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ 得 $a_0=f\left(x_0\right)$ ，
对 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)$ 求各阶导数，有

$$
P_n^{\prime}(x)=a_1+2 a_2\left(x-x_0\right)+3 a_3\left(x-x_2\right)^2+\cdots+n a_n\left(x-x_0\right)^{n-1}
$$

故 $P_n^{\prime}\left(x_0\right)=a_1=f^{\prime}\left(x_0\right)$

$$
\begin{aligned}
& P_n^{\prime \prime}(x)=2 a_2+2 \cdot 3 a_3\left(x-x_2\right)+\cdots+n(n-1) a_n\left(x-x_0\right)^{n-2} \\
& P_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=2 a_2=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)
\end{aligned}
$$

即

$$
a_2=\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_0\right), \ldots \ldots, a_n=\frac{1}{n !} f^{(n)}\left(x_0\right)
$$

因此

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n
$$

可以证明，上述确定的多项式正是我们要找的 $n$ 次多项式（具体证明请参考相关教程）.

## 泰勒公式

函数$f(x)$在$x$点处的多项式展开式可以写成

$$
\boxed{
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x)
}
$$
这个公式叫做泰勒多项式，通常称为**泰勒公式**或者**泰勒展开式**。

在泰勒公式里，当 $x_0$取0时，泰勒公式被称为**麦克劳林公式**,即：

$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1}
$$

泰勒公式中的 $R_n(x)$ 被称为为余项。
该余项有两种表示方式，一种是拉格朗日余项，一种是佩亚诺余项。
通过余项可以控制$f(x)$的近似值。

### 具有拉格朗日余项的泰勒公式

拉格朗日余项可以写作

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}
$$

由公式可见，拉格朗日余项对误差的存在持肯定态度。在含有拉格朗日余项的泰勒公式中，误差的大小与指定的公式阶数有关，该误差是不可避免的，只能尽可能地减小它。公式的阶数越高（ $n$ 越大），误差就越小。反之，阶数越低，则误差越大。
在很多技术应用时，很多情况下计算达到一定的精度，即可满足我们的需求了，而不追求百分百准确。

> 特别的，具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式，即为拉格朗日中值公式:  $f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}(\xi)\left(x-x_0\right)$

### 具有佩亚诺余项的泰勒公式
虽然函数经过具有拉格朗日余项的泰勒公式变化后的误差项（余项），无法消除。但是，在佩亚诺余项将该误差写成了极限的形式。这使得我们在研究极限问题 $x \rightarrow x_0$ 时，佩亚诺余项会以一个高阶无穷小的形式参与运算，进而得到精准的结果。

因此在运用泰勒公式求极限的时候，要写佩亚诺余项。佩亚诺余项可写作:

$$
R_n=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)
$$

其中，佩诺亚余项 $R_n(x)$ 是 $\left(x-x_0\right)^n$ 的高阶无穷小，即 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)}{\left(x-x_0\right)^n}=0$ 。

>具有佩诺亚余项的1阶泰勒公式，即为微分与增量之间的关系式: $ f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+o\left(\left(x-x_0\right)\right) $

泰勒级数展开比较
 ![图片](/uploads/2025-03/3864c9.jpg)

##  麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。$x_0 = 0$ 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
下面给出4个常用的展开式

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n+o\left(x^n\right) \\
& \sin x=x-\frac{1}{3!} x^3+\cdots+\frac{(-1)^{m-1}}{(2 m-1)!} x^{2 m-1}+o\left(x^{2 m-1}\right) \\
& \cos x=1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\cdots+\frac{(-1)^m}{(2 m)!} x^{2 m}+o\left(x^{2 m}\right) \\
& \ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n+o\left(x^n\right)
\end{aligned}
$$
常见的麦克劳林展开参考 [此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)

## 从几何上再次理解泰勒展开式
上面，从代数的角度介绍了泰勒展开式，下面将从几何角度来解释泰勒公式。

泰勒展开的本质是多项式逼近，也就是说，我们可以使用低次到高次的多项式累加来拟合函数 $f(x)$ 在某个点邻域的函数值。比如在物理上， $\sin (x)$ 在 $x$ 很小的时候，可以认为等于 $x$ 。这实际上就是用一次多项式 $x$ 来逼近 $\sin (x)$ 在 $x=0$ 附近的函数值。

为了能使多项式 $P(x)$ 能够较好地拟合 $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域的函数值，最简单最原始最自然的想法是：

首先 $P(x)$ 在 $x=x_0$ 处应该与 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的值相同吧，这是最最基本的要求了。如果函数值都不一样还那后面就完全不用拟合了。所以要满足 $P\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ 。最简单的多项式是零次多项式— $P(x)$是一个常数。

![图片](/uploads/2024-09/d4f2ed.jpg){width=550px}
 
 >注意：泰勒展开式通常取前面2-3项来拟合$x=x_0=0$这一

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：洛必达法则 L Hospital(未定式)

下一篇：麦克劳林公式

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)