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泰勒公式 Taylor Theorem ★★★★★

## 泰勒公式 Taylor Theorem
古往今来，从 阿基米德开始的众多大数学家，一直在孜孜不倦地寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径——除了理论上的需要之外，它对实际应用领域的意义更是不可估量。但在微积分发明之前，这个问题一直没能获得本质上的突破。

人们最熟悉的简单函数无非两类：幂函数和三角函数．所以围绕函数展开，就要包括：幂函数展开和三角函数展开。

英国数学家泰勒Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式

$$
\boxed{
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n ...\text {(泰勒展开) }
}
$$

另一方面，法国数学家傅里叶Fourier 在 19世纪初找到了用三角函数的线性组合表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即通过三角函数展开$f(x)$ ， 即傅里叶展开

$$
\boxed{
f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ...\text {(傅里叶展开) }
}
$$

由此函数展开形成了两大门派：泰勒级数和傅里叶级数。
本节讲介绍[泰勒级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)，在后面章节将介绍 [傅里叶级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=451)

## 为什么要进行函数展开
对于函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，最简单的原因：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们要问：在“尽可能”不失真的情况下，可以估算他的值吗？

当然可以，这就是函数的展开，比如如果我告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$
你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差非常小，基本上能满足“日常”使用。

再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

这样，我们就需要解决3个问题：

>**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**
**因此，（1）（2）（3）这三个问题就成了《高等数学》里无穷级数研究的重要内容**

在上面举例里，第（1）问，$e^x$ 可以展开，这已经展示过了，那如何保证（2）问里展开值的精度呢？那就是靠多项式余项。常用余项有两个，一个是拉格朗日余项，一个是佩亚诺余项。
比如

#### 余项举例1
用  $\sin x$  的泰勒多项式近似$ \sin(0.5) $，要求误差 $ \leq 10^{-4}$
$$
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$
余项：
$$
R_5(x) = \frac{\sin^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 = \frac{-\sin \xi}{720}x^6 \quad (\xi \in [0, 0.5])
$$
由于 $ \sin \xi  \leq 1$ ，所以：
$$
R_5(0.5)
 \leq \frac{0.5^6}{720} \approx \frac{0.015625}{720} \approx 2.17 \times 10^{-5} < 10^{-4}
$$
因此，5 阶多项式足够。

#### 余项举例2
用 $ e^x$  近似 $ e^{1}$ ，要求误差  $\leq 10^{-6}$ ：

$$
R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \leq \frac{e}{(n+1)!} \quad (\xi \in [0,1])
$$
解不等式：

$$
\frac{e}{(n+1)!} \leq 10^{-6} \implies (n+1)! \geq e \times 10^6 \approx 2.718 \times 10^6
$$
计算阶乘：
$$
 10! = 3.628 \times 10^6 \geq 2.718 \times 10^6 
$$
所以 $ n+1 \geq 10$ ，即 至少需要 9 阶多项式。

> 这样，使用**余项可以保证多项式逼近的精度**

第（3）个问题主要靠**收敛半径**解决。最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取几个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^3+....=\frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857
$$
非常完美，嗯，再代入$x=3$ 看看

$$
S= \frac{1}{1 - 3} = 1+3+3^2+3^3+....=\frac{1}{-2} \approx -\frac{1}{2}
$$

> 怎么， $1+3+3^2+...= -\frac{1}{2}$ 可以看到，**我们得到了荒谬的结论**

这就是因为当$x=3$时，$\frac{1}{1-x}$ 是发散的，而上面展开式只有在$\frac{1}{1-x}$ 的 $|x|<1$ 时才是收敛的，才有意义，因此，我们引入了“收敛域”或者叫做“收敛半径”。
 
 
关于收敛半径，会在 [无穷级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=235) 进行介绍。下面将介绍怎么把函数展开乘幂级数。

## 多项式逼近函数
对一些较复杂的函数，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达. 比如，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ ， 即 $\sin x=x+o(x)$. 也就是当$x$足够小时，$\sin x$ 可以用$x$来近似，但是对于 $o(x)$ ，我们非常好奇，它究竟是 $x$ 的几阶无穷小? 能不能再精确一些?

如果我们事先约定允许的误差范围， 能不能找到对应的简单多项式，使得 $\sin x=a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots+a_n x^n+o\left(x^n\right)$ ?  如果这个多项式存在，那么这个多项式的系数和函数之间存在什么关系? 这一节就来探讨这个问题.

设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间内具有直到 $(n+1)$ 阶导数，试找出一个关于 $\left(x-x_0\right)$ 的 $n$ 次多项式

$$
p_n(x)=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n ...(2.1)
$$

来近似表达 $f(x)$ ，要求 $p_n(x)$ 与 $f(x)$ 之差是当 $x \rightarrow x_0$ 时比 $\left(x-x_0\right)^n$ 高阶的无穷小，并给出误差｜$f(x)-p_n(x) \mid$ 的具体表达式。

下面我们来讨论这个问题．假设 $p_n(x)$ 在点 $x_0$ 处的函数值及它的直到 $n$ 阶导数在 $x_0$ 处的值依次与 $f\left(x_0\right), f^{\prime}\left(x_0\right), \cdots, f^{(n)}\left(x_0\right)$ 相等，即满足

$$
\begin{gathered}
p_n\left(x_0\righ

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