最后更新: 2025-09-07 05:02 查看: 1778 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

麦克劳林公式 Maclaurin series

## 常用的拉格朗日余项的麦克劳林公式展开(AI生成)
在[泰勒公式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)里说过，麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。即$x_0 = 0$ 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。

几个常见初等函数的带拉格朗日余项的泰勒展开如下（在 $x_0 = 0$ 处展开，即麦克劳林展开）：

---

### 1. 指数函数 $e^x$
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)
$$
其中拉格朗日余项：
$$
R_n(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 2. 正弦函数 $\sin x$
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2k+2}(x)
$$
余项（通常取 $n=2k+2$）：
$$
R_{2k+2}(x) = \frac{\sin^{(2k+3)}(\xi)}{(2k+3)!} x^{2k+3} = (-1)^{k+1} \frac{\cos \xi}{(2k+3)!} x^{2k+3}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 3. 余弦函数 $\cos x$
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2k+1}(x)
$$
余项（通常取 $n=2k+1$）：
$$
R_{2k+1}(x) = \frac{\cos^{(2k+2)}(\xi)}{(2k+2)!} x^{2k+2} = (-1)^{k+1} \frac{\cos \xi}{(2k+2)!} x^{2k+2}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 4. 自然对数 $\ln(1+x)$（适用于 $x > -1$）
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + R_n(x)
$$
余项：
$$
R_n(x) = \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} x^{n+1}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 5. 二项式函数 $(1+x)^\alpha$（$\alpha \in \mathbb{R}$，适用于 $|x| < 1$）
$$
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + R_n(x)
$$
余项：
$$
R_n(x) = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)}{(n+1)!} (1+\xi)^{\alpha-n-1} x^{n+1}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 6. 几何级数 $\frac{1}{1-x}$（适用于 $|x| < 1$）
$$
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + R_n(x)
$$
余项：
$$
R_n(x) = \frac{x^{n+1}}{(1-\xi)^{n+2}}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

---

### 说明：
- 拉格朗日余项的一般形式为 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}$，其中 $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。
- 以上展开均在 $x_0=0$ 处给出，若需其他点 $x_0 \neq 0$ 的展开，需将 $x$ 替换为 $(x-x_0)$，并调整余项中的导数计算。

这些展开在近似计算和误差估计中非常有用。

## 常用皮亚诺余项的麦克劳林公式展开(AI生成)

几个常见初等函数的带皮亚诺余项的泰勒展开（在 $x_0 = 0$ 处展开，即麦克劳林展开）如下：

---

### 1. 指数函数 $e^x$
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
$$
其中 $o(x^n)$ 表示当 $x \to 0$ 时比 $x^n$ 高阶的无穷小。

---

### 2. 正弦函数 $\sin x$
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+2})
$$
通常展开到 $x^{2k+1}$ 项，余项为 $o(x^{2k+2})$。

---

### 3. 余弦函数 $\cos x$
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k+1})
$$
通常展开到 $x^{2k}$ 项，余项为 $o(x^{2k+1})$。

---

### 4. 自然对数 $\ln(1+x)$（适用于 $x > -1$）
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)
$$

---

### 5. 二项式函数 $(1+x)^\alpha$（$\alpha \in \mathbb{R}$，适用于 $|x| < 1$）
$$
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha

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