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麦克劳林公式

## 为什么要进行幂函数展开
对于函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，原因很简单：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们希望在“尽可能”简单的情况下，可以估算他的值吗？
当然可以，这就是函数的展开，比如我们告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$

你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差为此小，基本上能满足“日常”使用。

再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

这样，我们就需要解决3个问题：

**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**

上面举例里，第（1）问，$e^x$ 可以展开，这已经展示过了，那如何保证（2）问里展开值的精度呢？那就是靠多项式余项。常用余项有两个，一个是拉格朗日余项，一个是佩亚诺余项。
比如

#### 余项举例1
用  $\sin x$  的泰勒多项式近似$ \sin(0.5) $，要求误差 $ \leq 10^{-4}$
$$
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$
余项：
$$
R_5(x) = \frac{\sin^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 = \frac{-\sin \xi}{720}x^6 \quad (\xi \in [0, 0.5])
$$
由于 $ \sin \xi  \leq 1$ ，所以：
$$
R_5(0.5)
 \leq \frac{0.5^6}{720} \approx \frac{0.015625}{720} \approx 2.17 \times 10^{-5} < 10^{-4}
$$
因此，5 阶多项式足够。

#### 余项举例2
用 $ e^x$  近似 $ e^{1}$ ，要求误差  $\leq 10^{-6}$ ：

$$
R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \leq \frac{e}{(n+1)!} \quad (\xi \in [0,1])
$$
解不等式：
$$
\frac{e}{(n+1)!} \leq 10^{-6} \implies (n+1)! \geq e \times 10^6 \approx 2.718 \times 10^6
$$
计算阶乘：
$$
 10! = 3.628 \times 10^6 \geq 2.718 \times 10^6 
$$
所以 $ n+1 \geq 10$ ，即 至少需要 9 阶多项式。

> 这样，使用**余项可以保证多项式逼近的精度**

第（3）个问题主要靠**收敛半径**解决。最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取几个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^3+....=\frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857
$$
非常完美，嗯，再代入$x=3$ 看看

$$
S= \frac{1}{1 - 3} = 1+3+3^2+3^3+....=\frac{1}{-2} \approx -\frac{1}{2}
$$

> 怎么， $1+3+3^2+...= -\frac{1}{2}$ 可以看到，**我们得到了荒谬的结论**

这就是因为当$x=3$时，$\frac{1}{1-x}$ 是发散的，而上面展开式只有在$\frac{1}{1-x}$ 的 $|x|<1$ 时才是收敛的，才有意义，因此，我们引入了“收敛域”或者叫做“收敛半径”。

因此，幂函数展开就是解决上面提出的（1）（2）（3）三个问题。

## 麦克劳林公式
在[泰勒公式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)里说过，麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。即$x_0 = 0$ 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
下面给出4个常用的展开式

## 例题
`例` 写出函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
解 由 $f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^x ， f^{(n)}(0)=\mathrm{e}^0=1, n=1,2, \cdots$ ，又 $f^{(n+1)}(\theta x)=\mathrm{e}^{\theta x}$ ，
得 $\quad \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1}$
其中 $0<\theta<1$.

注 近似公式

$$
\mathrm{e}^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !},\left|R_n(x)\right| \leq \frac{\mathrm{e}^x}{(n+1) !}|x|^{n+1}
$$

特别地取 $x=1$ 则有 $\mathrm{e} \approx 1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !} ，\left|R_n\right| \leq \frac{3}{(n+1) !}$

`例` 证明 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$.
证明 取 $f(x)=\ln (1+x) ， f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{(1+x)^n} ， f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1) !$ ， $n=1,2, \cdots$ ，因此

$$
\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)
$$

`例` 证明 $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}+R_{2 m}(x)$.
其中

$$
R_{2 m}(x)=\frac{\sin \left[(2 m+1) \frac{\pi}{2}+\theta x\right]}{(2 m+1) !} x^{2 m+1}(0<\theta<1)
$$

证明 取 $f(x)=\sin x ， f^{(n)}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$ ，则 $f^{(n)}(0)=\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ，且 $f

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