最后更新: 2025-09-21 06:30 查看: 768 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

齐次方程组解的结构(基础解系★★★★)

## 齐次方程组的解
齐次方程组一定有零解，所以，他要么有唯一的零解，要么有无穷多解。

① **唯一的零解**
从本质上来说，方程组有唯一零件是两个直线斜率不一样，且直线仅在原点相交,对于零解，我们通常不感兴趣，我们更感兴趣的是无穷解。
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_1=0 \\
x_2=0
\end{array}\right.\right. 
\end{aligned}
$$

② **无穷多解**
从本质上来说，方程组有无穷多解是两个直线重合或平面重合或体积重合等。
$$
\left\{

\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow

\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } = 0 } \\
{ x _ { 2 } = 0 }
\end{array}\right. 
...
\left\{\begin{array}{l}
x_1=1 \\
x_2=-1
\end{array}\right.

\right.
$$

> 对于有无穷多解，重点是如何写出他的基础解系。

比如对于上面的方程，可以写成
$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{r}
x_1+x_2=0 \\
2 x_1+2 x_2=0
\end{array}\right. & 
\end{aligned}

\longrightarrow

\begin{aligned}
& x_1=k \\
& x_2=-k
\end{aligned} 
$$
更进一步的，上面方程的解可以写成向量形式是：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
此时，虽然这个方程有无穷多解，但是使用上面这个表达式可以表示出这个方程所有的解，我们给这个解一个名称：**基础解系**

但是，当变量很多时，我们需要一个方法来方便写出他的基础解系，而不能靠猜。

> 下面通过一个具体的例题介绍齐次线性方程组解的求解套路。只要一道题目会了，整个解法就会了，不过想熟练掌握还是需要大量练习，科数题库提供了海量试题供你训练，点击查看 [基础解系训练](https://kmath.cn/m/papername.aspx?paperid=1477)

## 齐次线性方程组解基础解系求解套路

`例` 求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cr}x_1+x_2+x_3  -2 x_5=0 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3+2 x_4-3 x_5=0 \\ x_1+x_2+3 x_3-4 x_4-4 x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系.

解：
**第一步：写出系数矩阵。**
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right)
$$

**第二步： 对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $R$ :** [行最简形矩阵教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -4 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\boldsymbol{R},
$$

**第三步：写出自由未知量。**

由于 $R(\boldsymbol{A})=2<5$ ，所以该齐次线性方程组有非零解.

$\boldsymbol{R}$ 对应的方程组为（这一步考试时可以不写）:

$$
\quad\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_4-x_5=0, \\ x_3-2 x_4-x_5=0 .\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2025-09/eeaf7f.jpg)
 
当我们化为阶梯形最简形后，每行取数字1所在的列为未知量，其它的作为自由未知量。参考上图，行最简形矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的首元在第 1 列和第 3 列，所以使用$x_1,x_3$作为**未知量**，而$x_2, x_4, x_5$为**自由未知量**.

并将自由末知量移至等号右端，有

$\left\{\begin{array}{

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