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齐次线性方程组解的结构

### 引子

在初中，我们知道 $y=ax+b$ 表示平面上一条直线， 在高中，$z=a_1 x +a_2 y$  表示空间里的一个平面，由此推广

①1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维空间体;

②2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个二维平面;

③3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线;

④4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ 表示四维空间里的一个零维点。

可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程数等于空间的维数 (事实上, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。

## 齐次方程组的解
齐次方程组一定有零解，所以，他要么有唯一的零解，要么有无穷多解。

① **唯一的零解**
从本质上来说，方程组有唯一零件是两个直线斜率不一样，且直线仅在原点相交,对于零件，我们通常不感兴趣，我们更感兴趣的是无穷解。
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_1=0 \\
x_2=0
\end{array}\right.\right. 
\end{aligned}
$$

② **无穷多解**
从本质上来说，方程组有无穷多解是两个直线重合。
$$
\left\{

\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow

\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } = 0 } \\
{ x _ { 2 } = 0 }
\end{array}\right. 
...
\left\{\begin{array}{l}
x_1=1 \\
x_2=-1
\end{array}\right.

\right.
$$

> 对于有无穷多解，我们更感兴趣的是如何写出他的基础解系。

比如对于上面的方程，可以写成
$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{r}
x_1+x_2=0 \\
2 x_1+2 x_2=0
\end{array}\right. & 
\end{aligned}

\longrightarrow

\begin{aligned}
& x_1=k \\
& x_2=-k
\end{aligned} 
$$
更进一步的，上面方程的解可以写成向量形式是：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
此时，我们可以说，虽然这个方程有无穷多解，但是使用上面这个表达式可以表示出这个方程所有的解，我们给这个解一个名称：**基础解系**

### 阶梯形矩阵
对于任意一个方程，他的系数组成了一个矩阵，这个矩阵一定可以化为行阶梯形矩阵。例如下面方程
$$
\left\{\left.\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
4 x_2+5 x_3=0 \\
x_3=0
\end{array} \right\rvert\, \Rightarrow x=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]\right.
$$

化为阶梯形矩阵后为
$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

**这里我们得到第一个结论：阶梯形矩阵的行数和为知数个数相等时，齐次线性方程组只有零解。**

再入：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
x_1+6 x_2+8 x_3=0 \\
x_1+10 x_2+13 x_3=0
\end{array}\right.
$$
把他的系数化为阶梯形矩阵
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 6 & 8 \\
1 & 10 & 13
\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
如果根据阶梯形矩阵还原为方程为
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
4 x_2+5 x_3=0 \\
0=0
\end{array}\right. ...(1)
$$
仔细观察最后一个等式，恒成立，所以方程有无数多解。

**这里得到第二个结论：将系数矩阵化为阶梯矩阵，如果非 0 行数小于未知数个数，则齐次线性方程组存在非零解**

在上面(1)方程里，把$x_3$当做常数，进行解方程，可得：
$$
x=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} x_3 \\
-\frac{5}{4} x_3 \\
x_3
\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
-\frac{5}{4} \\
1
\end{array}\right]
$$
此处任意的 $x_3$ 都可以满足方程组
不含参数的纯数字向量组成齐次线性方程组的基础解系
基础解系可以以任意比例缩放，如令 $x_3=-4 k$ ，可得缩放后的基础解分
$$
x
=k\left[\begin{array}{c}
2 \\
5 \\
-4
\end{array}\right]
$$

再看下面的方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
2 x_1+4 x_2+6 x_3=0 \\
3 x_1+6 x_2+9 x_3=0
\end{array}\right.
$$
系数矩阵化为阶梯形矩阵为
$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
他还原方程组为
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
0=0 \\
0=0
\end{array}\right.
$$

这里需要把$x_2,x_3$看成常量，即用$x_2,x_3$ 表达$x_1$,即
$$
x=\left[\begin{array}{c}
-2 x_2-3 x_3 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=

\left[\begin{array}{c}
-2 \times x_2-3 \times x_3 \\
1 \times x_2 + 0 \times x_3  \\
0 \times x_2 + 1 \times x_3
\end{array}\right]=

\left[\begin{array}{c}
-2 x_2 \\
x_2 \\
0
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
-3 x_3 \\
0 \\
x_3
\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}
-3 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

在上面$x$的解按照向量进行了分解。

从上面可以得到如下结论：
$x_1$ 必须使用 $x_2$ 和 $x_3$ 共同表示
给 $x_2$ 和 $x_3$ 正交赋值 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ ，它们和求出的 2个 $x_1$ 值共同构成了基础解系里的 2 个解向量，最终的通解是基础解系里所有向量的线性组合

上面的解可以表示为
$$
x=k_1\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}
-3 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
其中，$k_1,k_2$为任意常数。

### 方程的解与秩的关系

观察方程组①
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
4 x_2+5 x_3=0 \\
0=0
\end{array}\right.
$$
他的解
$$
x=k\left[\begin{array}{c}
2 \\
5 \\
-4
\end{array}\right]
$$

和方程组②
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
0=0 \\
0=0
\end{array}\right.
$$
他的解为
$$
x=k_1\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}
-3 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
从上面可以看到
设系数矩阵是 $A$ ，主变量个数等于阶梯矩阵中非 0 行数，记为 $r( A )$若末知数个数是 $n$ ，则自由变量的个数 $t=n-r( A )$，一般的：如果 $r(A)<n$ ，方程组存在非零解，此时找出主变量和自由变量，明确基础解系中向量的个数 $t=n-r( A )$ ，然后对自由变量正交赋值，自底向上地求出主变量的值，最终求出基础解系

## 齐次线性方程组解基础解系求解套路

> 下面通过一个具体的例题介绍齐次线性方程组解的求解套路。只要一道题目会了，整个解法就会了，不过仍需大量练习。

**例1** 求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cr}x_1+x_2+x_3  -2 x_5=0 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3+2 x_4-3 x_5=0 \\ x_1+x_2+3 x_3-4 x_4-4 x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系.

解：
**第一步：写出系数矩阵。**
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right)
$$

**第二步： 对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $R$ :** [行最简形矩阵教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -4 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\boldsymbol{R},
$$

**第三步：写出自由未知量。**

由于 $R(\boldsymbol{A})=2<5$ ，所以该齐次线性方程组有非零解.
$\boldsymbol{R}$ 对应的方程组为: $\quad\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_4-x_5=0, \\ x_3-2 x_4-x_5=0 .\end{array}\right.$
行最简形矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的首元在第 1 列和第 3 列，所以自由未知量为 $x_2, x_4, x_5$.
将自由末知量移至等号右端，有

$\left\{\begin{array}{l}x_1=-x_2-2 x_4+x_5, \\ x_3=2 x_4+x_5 .\end{array}\right. ...(2)$

**第四步：分别取自由未知量为(1,0,0) (0,1,0) （0,0,1)** 即

分别取 $\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \quad$

代入(2)方程，具体的为：

① 取 $\eta_1= \left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}-1 \\ 0\end{array}\right) $

② 取 $\eta_2=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -2 \\ 2\end{array}\right) $

③ 取 $\eta_3=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)  = \left(\begin{array}{l}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) $ 时 ，$ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1\end{array}\right) $

**第五步 把$\eta_1，\eta_2，\eta_3$ 合并，从而基础解系为:**
$$
\begin{aligned}
&\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

**第六步 写出通解方程**
原方程组的通解为

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1 +k_2 \xi_2+k_3 \xi_3 .
$$
带入即可最终结果为：

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) +k_2 \left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right) +k_3 \left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

**以上就是求解基础解系固定的套路**。会这个套路，就能作对，记不住这个套路，就无法做。

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