最后更新: 2025-07-08 16:22 查看: 173 次反馈同步训练

齐次方程组解的性质

## 齐次方程组解的性质

如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， 则向量

$$
\quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right)
$$

称为方程组 $A x=0$ 的解向量，也称为 $A x=0$ 的解.
记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ ， 即

$$
S=\{\xi \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\},
$$

我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质，以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.

**性质1** 设 $\alpha, \beta$ 为 $A x=0$ 的任意的两个解，则 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解．
证明 由 $\alpha, \beta$ 均为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha=0, ~ A \beta=0$ ，于是

$$
A(\alpha+\beta)=A \alpha+A \beta=0+0=0
$$

所以 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解．

**性质2** 设 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的任意解，则对任意实数 $k, ~ k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解．
证明 由 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha =0$ ．于是对于任意数 $k$ ，有

$$
A(k \alpha)=k(A \alpha)=k 0 = 0
$$

所以 $k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解．

若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ ，
线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$
仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解.
因此，在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组， 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解.
齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.

## 定理
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 一定有基础解系，并且基础解系中所含向量的个数为 $n-r$ ，从而解集 $S$ 的秩 $R_s=n-r$ ．

证明 由于矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，不妨设矩阵 $A$ 的前 $r$ 个列向量线性无关，
于是A的行最简形矩阵为
$$
R =\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1, r+1} & \cdots & c_{1 n} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2, r+1} & \cdots & c_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r, r+1} & \cdots & c_{r n} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right),
$$

矩阵R对应的方程组为
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+c_{1, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{1 n} x_n=0, \\
x_2+c_{2, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
x_r+c_{r, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{r n} x_n=0 .
\end{array}\right.
$$

上面方程组可以写成
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1=-c_{1, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{1 n} x_n, \\
x_2=-c_{2, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{2 n} x_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
x_r=-c_{r, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_m x_n
\end{array}\right. ...(* * )
$$

令
$$
\left(\begin{array}{c}
x_{r+1} \\
x_{r+2} \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$ 
分别取

$$
\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
0
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{array}\right), ...(* * * )
$$

带入上式可得
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+1} \\
-c_{2,

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：齐次线性方程组解的结构(基础解系)

下一篇：三元非齐次线性方程组

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)