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齐次方程组解的性质

## 齐次方程组解的性质

如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， 则向量

$$
\quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right)
$$

称为方程组 $A x=0$ 的解向量，也称为 $A x=0$ 的解.
记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ ， 即

$$
S=\{\xi \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\},
$$

我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质，以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.

**性质1** 设 $\alpha, \beta$ 为 $A x=0$ 的任意的两个解，则 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解．
证明 由 $\alpha, \beta$ 均为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha=0, ~ A \beta=0$ ，于是

$$
A(\alpha+\beta)=A \alpha+A \beta=0+0=0
$$

所以 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解．

**性质2** 设 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的任意解，则对任意实数 $k, ~ k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解．
证明 由 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha =0$ ．于是对于任意数 $k$ ，有

$$
A(k \alpha)=k(A \alpha)=k 0 = 0
$$

所以 $k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解．

若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ ，
线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$
仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解.
因此，在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组， 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解.
齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.

## 定理
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 一定有基础解系，并且基础解系中所含向量的个数为 $n-r$ ，从而解集 $S$ 的秩 $R_s=n-r$ ．

证明 由于矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，不妨设矩阵 $A$ 的前 $r$ 个列向量线性无关，
于是A的行最简形矩阵为
$$
R =\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1, r+1} & \cdots & c_{1 n} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2, r+1} & \cdots & c_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r, r+1} & \cdots & c_{r n} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right),
$$

矩阵R对应的方程组为
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+c_{1, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{1 n} x_n=0, \\
x_2+c_{2, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
x_r+c_{r, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{r n} x_n=0 .
\end{array}\right.
$$

上面方程组可以写成
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1=-c_{1, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{1 n} x_n, \\
x_2=-c_{2, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{2 n} x_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
x_r=-c_{r, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_m x_n
\end{array}\right. ...(* * )
$$

令
$$
\left(\begin{array}{c}
x_{r+1} \\
x_{r+2} \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$ 
分别取

$$
\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
0
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{array}\right), ...(* * * )
$$

带入上式可得
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+1} \\
-c_{2, r+1} \\
\vdots \\
-c_{r, r+1}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+2} \\
-c_{2, r+2} \\
\vdots \\
-c_{r, r+2}
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
-c_{1 n} \\
-c_{2 n} \\
\vdots \\
-c_{m n}
\end{array}\right) .
$$

于是得到n-r个向量
$$
\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+1} \\
-c_{2,r+1} \\
\vdots \\
-c_{r r+1} \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+2} \\
-c_{2, r+2} \\
\vdots \\
-c_{r, r+2} \\
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \xi_{n-r}=\left(\begin{array}{c}
-c_{1 n} \\
-c_{2 n} \\
\vdots \\
-c_m \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right) .
$$

下面我们证明向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-1}$ ，就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A x =0$ 的基础解系．
由于向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n--}$ 可看成是表达式（＊＊＊）中的 $n-r$ 个向量分别添加了 $r$ 个分量后所得到，而表达式（＊＊＊）中的 $n-r$ 个 向量线性无关，从而向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 也是线性无关的．

因此只需证明：齐次线性方程组的任一解向量都可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示．

假设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 的任一解向量：$\quad \eta =\left(\begin{array}{c}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{array}\right)$ ，

将矩阵 $R$ 的非零行的首元对应的末知量看成固定末知量，留在等号的左端，其余的末知量看 成自由末知量，放在等号右端，

则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 一定会满足方程组 $\left({ }^{* *}\right)$ ， 即:

$$
\left\{\begin{array}{c}
k_1=-c_{1, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{1 n} k_n, \\
k_2=-c_{2, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{2 n} k_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
k_r=-c_{r, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{r n} k_n .
\end{array}\right.
$$

于是

$$
\eta =\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_r \\
k_{r+1} \\
k_{r+2} \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{1 n} k_n \\
-c_{2, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{2 n} k_n \\
\vdots \\
-c_{r, r+1} k_{r+1}-\cdots-c_{r n} k_n \\
k_{r+1} \\
k_{r+2} \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right)=k_{r+1}\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+1} \\
-c_{2, r+1} \\
\vdots \\
-c_{r, r+1} \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+k_{r+2}\left(\begin{array}{c}
-c_{1, r+2} \\
-c_{2, r+2} \\
\vdots \\
-c_{r, r+2} \\
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+\cdots+k_n\left(\begin{array}{c}
-c_{1 n} \\
-c_{2 n} \\
\vdots \\
-c_{r m} \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right) .
$$

即任一解向量 $\eta$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示 $\eta=k_{r+1} \xi_1+k_{r+2} \xi_2+\cdots+k_n \xi_{n-r}$.
所以向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系.

## 齐次线性方程组求解套路

> 上面理论的介绍大部分都会蒙了，不要紧，下面通过一个具体的例题介绍齐次线性方程组解的求解套路。只要一道题目会了，整个解法就会了，不过仍需大量练习。在实际考试中，理论可以不会，但是只要会解体就可以了。

**例1** 求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cr}x_1+x_2+x_3  -2 x_5=0 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3+2 x_4-3 x_5=0 \\ x_1+x_2+3 x_3-4 x_4-4 x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系.

解：
**第一步：写出系数矩阵。**
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right)
$$

**第二步： 对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $R$ :** [行最简形矩阵教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -4 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\boldsymbol{R},
$$

**第三步：写出自由未知量。**

由于 $R(\boldsymbol{A})=2<5$ ，所以该齐次线性方程组有非零解.
$\boldsymbol{R}$ 对应的方程组为: $\quad\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_4-x_5=0, \\ x_3-2 x_4-x_5=0 .\end{array}\right.$
行最简形矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的首元在第 1 列和第 3 列，所以自由未知量为 $x_2, x_4, x_5$.
将自由末知量移至等号右端，有

$\left\{\begin{array}{l}x_1=-x_2-2 x_4+x_5, \\ x_3=2 x_4+x_5 .\end{array}\right. ...(2)$

**第四步：分别取自由未知量为(1,0,0) (0,1,0) （0,0,1)** 即

分别取 $\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \quad$

代入(2)方程，具体的为：

① 取 $\eta_1= \left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}-1 \\ 0\end{array}\right) $

② 取 $\eta_2=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -2 \\ 2\end{array}\right) $

③ 取 $\eta_3=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)  = \left(\begin{array}{l}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) $ 时 ，$ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1\end{array}\right) $

**第五步 把$\eta_1，\eta_2，\eta_3$ 合并，从而基础解系为:**
$$
\begin{aligned}
&\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

**第六步 写出通解方程**
原方程组的通解为

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1 +k_2 \xi_2+k_3 \xi_3 .
$$
带入即可最终结果为：

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) +k_2 \left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right) +k_3 \left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

**以上就是求解基础解系固定的套路**。会这个套路，就能作对，记不住这个套路，就无法做。

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