最后更新: 2025-07-08 13:44 查看: 424 次反馈同步训练

三元齐次线性方程组

## 三元齐次线性方程组

上一节讨论了用消元法解三元线性方程组. 但是, 是否存在一种方法用来判断三元线性方程组是否有解? 如果有解, 那么有多少解? 既然三元线性方程可以用来表示空间的平面, 那么作出判断的几何直观是什么呢? 这些就是我们将要陆续学习的内容.

定义1 在一个线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中, 如果 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$, 那么称这个线性方程组为**齐次线性方程组**; 如果 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$, 那么称这个线性方程组为非齐次线性方程组.
对于一个三元齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=0, \\
a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=0,
\end{array}\right.
$$

显然 $x_1=x_2=x_3=0$ 是方程组的一个解, 这个解称为**零解** (null solution); 若方程组还有其他的解, 那么这些解就称为**非零解** (untrivial solution).
三元齐次线性方程组可以写成矩阵形式:
$$
A x=0,
$$

其中系数矩阵和未知向量分别为
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right) .
$$

对于齐次线性方程组, 我们关心的问题是有没有非零解.

`例`解下列齐次线性方程组:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+x_3=0, \\ x_2+x_3=0, \\ x_1+3 x_2+2 x_3=0\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2+x_3=0, \\ x_1-x_2=0, \\ x_1-2 x_2+2 x_3=0 .\end{array}\right.$

解: (1) 在齐次线性方程组中常数项都为 0 , 因此求解过程中, 只需要对这个线性方程组的系数矩阵进行行初等变换.
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 2
\end{array}\right) \xrightarrow{(-1) r_1+r_3}\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right) \xrightarrow{(-1) r_2+r_3}\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) \xrightarrow[(-1) r_2+r_1]{1}\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

因此,
$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 , } \\
{ x _ { 2 } + x _ { 3 } = 0 , }
\end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array}{l}
x_1=-x_2, \\
x_3=-x_2 .
\end{array}\right.\right.
$$

容易发现, 对 $x_2$ 的任意一个值, 可以确定这个齐次线性方程组的一个解. 我们把 $x_2$称为**自由未知量**, 令 $x_2=k(k \in \mathbf{R})$, 得到 $\boldsymbol{x}=(-k, k,-k)^{\mathrm{T}}$, 因此这个线性方程组有无穷多个解.

(2) 对系数矩阵作行初等变换.
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right) \xrightarrow{\substack{(-1) r_1+r_2 \\
(-1) r_1+r_3}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \xrightarrow{\substack{(-1) r_3+r_1 \\
r_3+r_2}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \xrightarrow{2 r_2+r_1}\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

因此, 这个齐次线性方程组的解为 $\boldsymbol{x}=(0,0,0)^{\mathrm{T}}$.

由于齐次线性线性方程组一定有零解, 从例 1 可以发现, 齐次线性方程组可能有无穷多个解, 也可能有唯一解. 因此, 我们可以猜想, 三元齐次线性方程组只有唯一解和无穷多个解两种情形.

因为线性方程组与经过行初等变换得到的阶梯形方程组同解, 所以可以直接讨论阶梯形方程组的解的情况及其判别准则.
情形 1 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+c_{12} x_2+c_{13} x_3 & =0, \\
x_2+c_{23} x_3 & =0, \\
x_3 & =0,
\end{aligned}\right.
$$

可以求出三元齐次线性方程组只有零解: $x_1=0, x_2=0, x_3=0$.
情形 2 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1 \quad+c_{13} x_3 & =0, \\
x_2+c_{23} x_3 & =0, \\
0 & =0,
\end{aligned}\right.
$$

显然 $x_1=0, x_2=0, x_3=0$ 是三元齐次线性方程组的一个解. 但对每一个 $x_3$ 的值 $k_3$, 都能找到 $x_1=k_1, x_2=k_2$ 满足方程组. 根据选取的 $k_3$ 的任意性可知, 三元齐次线性方程组有无穷多个解, 并把 $x_3$ 称为自由未知量.

情形 3 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组、
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+c_{12} x_2+c_{13} x_3 & =0, \\
0 & =0, \\
0 & =0,
\end{aligned}\right.
$$

同理, 可选取 $x_2, x_3$ 作为自由未知量, 令 $x_2=k_1, x_3=k_2\left(k_1 \in \mathbf{R}, k_2 \in \mathbf{R}\right)$, 则可得到对应的 $x_1$ 的值. 根据选取的 $k_1, k_2$ 的任意性可知, 三元齐次线性方程组有无穷多个解.

综上所述, 可以得到如下定理:

> **定理 1 任何一个齐次线性方程组都有零解. 如果一个齐次线性方程组有非零解, 那么它就有无穷多个解.**

如果一个齐次线性方程组有无穷多个解, 那么这个方程组的系数之间存在什么关系呢? 是否可以构建一个表示所有解的表达式呢? 为了回答这些问题, 就需要学习向量组线性相关的概念.
定义 2 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是一个 $n$ 维向量组, $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 是一组常数, 称向量
$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s
$$

为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的一个线性组合，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 为线性组合的系数. 若向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以表示为 $\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$, 则称向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表出.

定义 3 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是一组 $n$ 维向量, 如果存在一组不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 使得
$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0},
$$

则称 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关 (linearly dependent); 若一个向量组不是线性相关的, 则称它线性无关 (linearly independent).

换言之，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$

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