最后更新: 2025-09-21 05:53 查看: 757 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

线性方程组有解的几何意义

## 方程组解的几何意义
对于方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x_1+b_1 x_2=c_1 ...①\\
a_2 x_1+b_2 x_2=c_2 ...②
\end{array}\right.
$$

从高中解析几何的知识我们知道上面①和②各表示一根直线, 如果用$L$来表示这两条直线，上面可以写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_1: x_2=-\dfrac{a_1}{b_1} x_1 + \dfrac{c_2}{b_1} \\
L_2: x_2=-\dfrac{a_2}{b_2} x_1 + \dfrac{c_2}{b_2}
\end{array}\right.
$$

因为两条直线有 相交、重合和平行三种位置关系，对应其解分别是只有一个解，有无穷多个解和无解。

### 方程组的解
① 我们观察更具体的二元一次方程组，例如

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$
分别画出他们的直线方程，如下图

![图片](/uploads/2024-06/b65e88.jpg){width=300px}
 
可以发现，他们只有一个交点，因此方程有一个解。
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=2\\
y=1
\end{array}\right.
$$

② 同样的，观察下面两个方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+2y=6
\end{array}\right.
$$
画出他们的图形
 ![图片](/uploads/2024-06/3b5cd0.jpg){width=300px} 
可以看到，他们有重合，因此有无穷多个解。
事实上，第二个方程是第一个方程乘以2得到的，因此这两个方程最大的特点是系数成比例。

③观察下面两个方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+2y=8
\end{array}\right.
$$
画出他们的图形
 ![图片](/uploads/2024-06/331eba.jpg){width=300px} 
 可以看到他们是平行的，因此方程组无解。
 事实上，第二个方程减去第一个方程的2倍，可以得到 $0=2$ 这显然是矛盾的，因此方程组无解。
 
 
到这里我们可以有一个简单的结论：
**有解的条件** 
当 $r({A})=n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性无关), 方程组 (I) 有唯一零解;
当 $r({A})=r<n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性相关), 方程组 ( I ) 有非零解, 且有 $n-r$ 个线性无关解。
这里 $r(A)$ 表示的矩阵的秩，而$n$表示未知数的个数。

## 齐次线性方程与非齐次线性方程
对于线性方程组，等号右侧都为0的方程称为**齐次线性方程**，不全为0的称为**非齐次线性方程**。
例如
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=0\\
2x+y=0
\end{array}\right.
$$
是齐次线性方程

而

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$
则是非齐次线性方程。

我们很容易得到，齐次线性方程一定有一个0解。但是对于齐次线性方程，我们更感兴趣的是非0解。后面我们会先研究齐次线性方程组的解系，再研究非齐次线性方程组的解系。当我们学会了齐次线性方程组的解系后，再加上常数就是非齐次线性方程组的解系（或者说，齐次线性图形经过平移后，就可以得到非齐次线性方程的图像）。

## 系数矩阵与增广矩阵
对于
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$
我们把他的系数提取出来，写成矩阵，就称为系数矩阵。如
$$
A= \left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1 
\end{array}\right]
$$

如果把等号右边的值也加进来，就称为增广矩阵，通常用一个竖线分割。
$$
A|b= \left[\begin{array}{ll:l}
1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 5
\end{array}\right]
$$

### 推广到三个3元方程组的情况

对于二元一次方程组得到的解的结论，是否可以扩展到3元方程组的情况呢？答案是肯定的，如下

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\
a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right)
\end{array}\right.
$$

从空间看，每个方程都表示一个平面，所以，他表示的是空间的三个平面的关系，容易知道，空间中，三个平面共有8种情况，如下图

![图片](/uploads/2023-11/image_202311077039eaf.png)

根据线性方程组的秩及其解的不同情况, 我们可以这样总结并定义线性方程组的分类:

> 在这里, 要记住所有《线性代数》教材普遍使用的约定： $m 、 n 、 r 、 r_c$ 代表的含义如下:

设矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵, 增广矩阵 $\overline{\boldsymbol{A}}=[\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]$ 的秩为 $r_c$ 。

$m$ : 表示原方程组中方程的个数或者系数矩阵 $A$ 的行数，化简后 $m$ 一般会变小。
$n$ :表示原方程组中变元

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