最后更新: 2025-07-08 09:10 查看: 229 次反馈同步训练

方程的解的判定(与矩阵秩的关系)

## 矩阵的秩
先看一下方程组：

$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&2 x_1-4 x_2+x_3 &  =5 \\
&x_1-2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =4
\end{aligned}
\right.
$$

按高斯消元法，首先列出增广矩阵

$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
2 & -4 & 1 & 0 & 5 \\
1 & -2 & 2 & -3 & 4
\end{array}\right]
$$
把上面矩阵化为阶梯形矩阵后为

![图片](/uploads/2025-01/9fa926.jpg){width=300px}

如果把上面矩阵系数再还原成方程，则是：
 
 
$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+x_3 -2x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4 & =0
\end{aligned}
\right.
$$

仔细观察上面第三个方程，可以发现，不论$x$取什么值，这个式子都是成立的，换句话说，表面上看这个方程组有3个方程，但是其实真正有效的只有2个方程，第三个方程是“滥竽充数”的。我们把这个“2”就叫做矩阵的秩。再仔细观察一下阶梯形矩阵，他的阶数也正好是2.

> **结论：矩阵的秩反应的是方程组里有效方程的个数。秩为1表示方程组里有效的方程的个数为1，秩为2表示有效方程个数为2，秩为3表示有效方程个数为3，以此类推**

### 化为最简形矩阵
把上面矩阵化为最简形矩阵，
 ![图片](/uploads/2025-01/122e51.jpg){width=300px}

然后还原相应的方程组为

$$
\left\{
\begin{aligned}
&x_1 -2 x_2  & +x_4 & =2 \\
& & x_3-2 x_4 & =1 \\
& &   0 & =0
\end{aligned}
\right.
$$

首非零元为 1 在第 1 列和第 3 列，所对应的变量 $x_1$ 和 $x_3$ 被称为**首变量** ， $x_2$ 和 $x_4$ 看成**自由变量**。更准确地说，在这个例子中，设 $x_2= C_1$ 和 $x_4= C_2$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意的，那么这个方程组就变为

$$
\left\{
\begin{array}{r}
x_1-2 C_1+C_2=2 \\
x_3-2 C_2=1
\end{array}
\right.
$$

最后方程组的解用参数$C_1,C_2$ 表示

$$
\left\{
\begin{aligned}
& x_1=2+2 C_1-C_2 \\
& x_2=C_1 \\
& x_3=1+2 C_2 \\
& x_4=C_2
\end{aligned}
\right.
$$

由于 $C_1, C_2$ 是任意数，所以这个方

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