最后更新: 2025-11-03 15:02 查看: 732 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

全微分★★★★★

### 预备知识1：曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），这些切线在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space）， 关于切平面的详细介绍请参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

>通俗解释：想象一下把一个球放在桌子上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。
 
![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px}
 
### 预备知识2：$x,y$偏导数可以确定一个切平面
参考下图，过一点P可以做无数条曲线切线，上面说到所有切线在一个平面内，根据几何知识，[两个相交的直线确定一个平面](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1543)，因此我只要任选两条曲线，然后做他的切线就能确定切平面。怎么能快速确定切平面呢？自然就是偏导数。

想象一下，对曲面沿着平行于$x$轴与$y$轴切2刀，就会形成2个切痕，这2个切痕就是2条曲线，再过点P做曲线的切线，他们就是曲面对对$x,y$的偏导， 所以下图里 $r_v=\frac{\partial f}{\partial x}$,  $r_u=\frac{\partial f}{\partial y}$,

![图片](/uploads/2025-11/56313e.jpg){width=300px}

## 全微分的引入
在实际问题中，**通常函数$z=f(x,y)$比较复杂，直接计算增量会很麻烦，此时，我们希望考虑用 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数来代替全增量 $\Delta z$ 的问题** 即多元函数的线性逼近.

考虑一个简单的线性函数：比如对于平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走一个单位，$z$ 就会增加 $a$ ，往 $y$ 走一个单位，$z$ 就会增加 $b$ ，你也同时随便往 $x$ 走 $0.5$个单位，往 $y$ 走$0.6$个单位，$z$ 对应增加 $0.5 a+0.6 y$ ，这就是线性的力量！

但是，如果平面$z$变更为 $z'=a x^2+b y^2+c$ , 此时，再往$x$走一个单位，$z'$的值计算就变得复杂, 我们自然想法是，再满足需求的条件下，能否找到一个线性的平面$z$来替代$z'$ 呢？

对于二元函数 $z=f(x, y)$ ，它对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量 固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 相应地，我们可以定义二元函数的偏增量和偏微分.

$$
\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)
$$

$$
\Delta_y z=f(x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

分别称为二元函数对变量 $x$ 与 $y$ 的**偏增量**.

固定自变量 $y$ ，若 $\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)=A \Delta x+o(\Delta x)$ ，当 $f_x^{\prime}(x, y)$ 存在时，则有 $A=f_x^{\prime}(x, y)$ ， $f_x^{\prime}(x, y) \Delta x$ 称为二元函数 $z=f(x, y)$ 关于 $x$ 的偏微分，

同理，可以定义关于 $y$ 的 偏微分 $f_y^{\prime}(x, y) \Delta y$.
 
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

$$
\begin{aligned}
& f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\
& f(x, y+\Delta y)-f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y .
\end{aligned}
$$

### 全微分定义
若函数 $z=f(x, y)$ 在其定义域的内点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的全增量可表示为

$$
\boxed{
\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho) ...(1)
}
$$

其中 $A, B$ 是不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ ，而仅与点 $\left(x_0, y_0\right)$ 有关的两个常数，$\rho= \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处是可微分的，称 $A \Delta x+B \Delta y$为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的全微分，记作 $\mathrm{d} z=A \Delta x+B \Delta y$ ．

全微分 $\mathrm{d} z$ 是全增量 $\Delta z$ 的线性主部．
当函数在某平面区域 $D$ 内处处可微时，称函数为 $D$ 内的可微函数．

**全微分可微的必要条件** 若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，则
（1）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续；
（2）$z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可偏导，且 $A=f_x\left(x_0, y_0\right), B=f_y\left(x_0, y_0\right)$ ．
证明：略

**可微的充分条件** 若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内处处可偏导，且 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，则函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．

`例` 求算 $z=x^2y+y^2$的全微分
解： $f'_x=2xy, f'_y=x^2+2y$ 所以
$dz=2xydx+(x^2+2y)dy$

`例` 求函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分．
解 由于

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=y \mathrm{e}^{x y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x \mathrm{e}^{x y},
$$

则 $\frac{\partial z}{\partial x}(2,1)=\mathrm{e}^2, \frac{\partial z}{\partial y}(2,1)=2 \mathrm{e}^2$ ．所以函数在点 $(2,1)$ 处的全微分为

$$
\mathrm{d} z=\mathrm{e}^2 \mathrm{~d} x+2 \mathrm{e}^2 \mathrm{~d} y
$$

## 全微分的物理意义
通过一个物理题似乎更容易明白全微分想要表达的意义。下面我们看一个具体的问题.
设矩形的长和宽分别为 $x$ 和 $y$ ，则此矩形的面积 $S=xy$ (这里面积可以看成二元函数). 若铁块受热进行了膨胀， 若边长 $x$ 有增量 $\Delta x$ ， 边长 $y$ 有增量 $\Delta y$ 时 (见图 6-10)， 则面积 $S$ 的相应的增量为

$$
\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-x y=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123133999f8.png)

即 
$$
\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .
$$

可见， $\Delta S$ 包含两部分: 第一部分是 $y \Delta x+x \Delta y$ ，它是关于 $\Delta $ 一次函数； 第二部分是 $\Delta x \cdot \Delta y$ ，它是关于   $\Delta $  的二次函数，而当 $\Delta \to 0 $ 时，第二部分是第一部分的高阶无穷小，所以可以忽略，

于是铁皮面积增量原本为

$\Delta S = y \Delta x+x \Delta y+o(\rho)$

可以近似表达为

$\Delta S \approx y \Delta x+x \Delta y $

即面积增量直接使用**线性增量**即可

为什么说 $o(\rho)$ 是高阶无穷小呢？这是因为
$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，即

$$
0 \leq \frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\rho}=\frac{|\Delta x \cdot

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【数学分析】方向导数和梯度【数学分析】全微分的几何意义【数学分析】全微分的概念

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