最后更新: 2025-04-10 06:58 查看: 401 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

高阶偏导数

## 高阶偏导数
设函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x, y), \quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x, y),
$$

则在 $D$ 内 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 都是 $x, y$ 的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，
则称它们是函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下 列四个二阶偏导数：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{x x}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y) \\
& \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=f_{y x}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{y y}(x, y)
\end{aligned}
$$

其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.
类似地，可以定义三阶、四阶、拟及 $n$ 阶偏导数.
我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

`例`设 $z=4 x^3+3 x^2 y-3 x y^2-x+y$ ，求

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^3}
$$

解 $\frac{\partial z}{\partial x}=12 x^2+6 x y-3 y^2-1, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=3 x^2-6 x y+1$;

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=24 x+6 y, \frac{\partial^3 z}{\partial x^3}=24 \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-6 x, \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=6 x-6 y, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=6 x-6 y .
\end{aligned}
$$

`例` 求 $z=x \ln (x+y)$ 的二阶偏导数.
解
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial x}=\ln (x+y)+\frac{x}{x+y} ， \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x+y}, \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{1}{x+y}+\frac{x+y-x}{(x+y)^2}=\frac{x+2 y}{(x+y)^2} ， \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{-x}{(x+y)^2} ， \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{1}{x+y}+\frac{-x}{(x+y)^2}=\frac{y}{(x+y)^2} ， \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=\frac{(x+y)-x}{(x+y)^2}=\frac{y}{(x+y)^2} .
\end{aligned}
$$

`例` 求函数 $z=x^y$ 的二阶偏导数.
解

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1} ， \frac{\partial z}{\partial y}=x^y \ln x \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=y(y-1) x^{y-2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=x^y \ln ^2 x ， \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=x^{y-1}+y x^{y-1} \ln x=x^{y-1}(1+y \ln x) ， \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=y x^{y-1} \ln x+x^y \cdot \frac{1}{x}=x^{y-1}(1+y \ln x)
\end{aligned}
$$

`例` 验证函数 $u(x, y)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ 满足方程

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text {. }
$$

证 因为 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2} \ln \left(x^2+y^2\right)$ ，
所以

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2},
$$

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)-y \cdot 2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\
& \text { 从而 } \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=0 .
\end{aligned}
$$

`例` 验证函数 $u(x, y)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ 满足方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$.
注 方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ 称为 Laplace (拉普拉斯) 方程，它是数学物理方程中 的一种很重要的方程，若引入记号（算子） $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ ，则拉普拉斯方程可写 成 $\Delta u=0$.
上述算子也称为拉普拉斯算子.
我们在例 2 ，例 3，例 4 中都看到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ ，这不是偶然的. 事实上，有如下的定理.

### 二阶混合偏导数与求导次序无关
定理 1 如果函数 $z=f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 在区域 $D$ 内 连续，则在该区域内有 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
证明从略.
这就是说，连续的二阶混合偏导数与求导次序无关.

## 高阶符合函数的偏导数
> 注意：本文涉及到后面符号函数的偏导计算

弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，是正确使用复合函数求导法则的关键。在解题时，为直观显示变量之间的复合结构关系。常常利用树形图来表示出函数经过中间变量通向自变量的各条路径

`例`设 $z=f\left(\sin x, \cos y, \ln \sqrt{x^2+y^2}\right.$ ），求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$（其中 $f$ 满足问题  以后假定例中出现的抽象函数均满足法则成立的条件，不再另作说明）．

解 令 $u=\sin x, v=\cos y, w=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ ，则本题中的函数 $z=f(u, v, w)$ 是由三个中间变量 $u, v, w$ 和两个自变量 $x, y$ 构成的复合函数，其复合结构的树形图如图 6．5．3 所示．因此，
 ![图片](/uploads/2025-04/b989d0.jpg)
 
从$z$到x有2条路，即：$z-u-x$ 和 $z-w-x$ 所以，$z$对$x$求偏导就是这2条路相加。

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x} \\
& =f_1 \cdot \cos x+f_2 \cdot 0+f_3 \cdot \frac{x}{x^2+y^2} \\
& =f_1 \cdot \cos x+f_3 \cdot \frac{x}{x^2+y^2}
\end{aligned}
$$

其中 $f_i(i=1,2,3)$ 分别表示 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数。

类似可得

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=-f_2 \cdot \sin y+f_3 \cdot \frac{y}{x^2+y^2}
$$

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