最后更新: 2025-01-25 11:13 查看: 470 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

偏导数的几何意义

## 一元导数
在一元函数里，函数$y=f(x)$的几何意义就是求该曲线的切线。
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## 偏导数的几何意义
对于二元数$z=f(x,y)$必须知道，他表示的是一个曲面，为了查看这个曲面，需要放在立体空间里（如下图）。

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所谓偏导数，相当于是求曲面上一点的切线。但是，过曲面上一点有无数条切线，需取哪个切线呢？
答案是：**我们只求沿平行X坐标轴和Y坐标轴的切线**。

对$x$求导时，相当于表示曲线对$x$轴的夹角的斜率，而对$y$求导，相当于表示曲线对$y$轴夹角的斜率。

对X轴求偏导的几何意义
（1）空间有一个曲面
 ![图片](/uploads/2025-01/325a93.jpg){width=300px}

（2）想象一下拿一把刀沿$x$轴砍一刀，
 ![图片](/uploads/2025-01/e920b7.jpg){width=300px}

（3）刀痕和曲面相交，形成一个曲线
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（4）在曲线上取一点，做曲线的切线，就是函数对$x$轴的偏导数。
 ![图片](/uploads/2025-01/0fef0f.jpg){width=300px}

## 对X轴求偏导

偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 表示$f(x,y)$曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T_x$ 对 $x$ 轴正向的斜率 (图 6-8).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212313903799.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial x }$ 
解：通过上面分析，当对$x$求偏导数时，因为是沿平行于$x$轴进行切割，所以$y$值是固定的，换句话说，需要把$y$看成常数，得
$$
 \frac{\partial z}{\partial x}=y e^{x y}+2 xy
 $$

### 对Y轴求偏导
偏导数 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 就是曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T_y$ 对 $y$ 轴正向的斜率(图 6-9).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212314dc5be4.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial y }$ 
解：通过上面分析，当对$y$求偏导数时，因为是沿平行于$y$轴进行切割，所以$x$值是固定的，换句话说，需要把$x$看成常数，得
$$
  \frac{\partial z}{\partial y}=x e^{x y}+x^2
 $$
 
 
## 一元微分
对于一元微分，如果函数是**光滑并且连续的**，如下图所示，设 $P_0$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 $P_0$时，并且割线 $P P_0$ 的极限位置 $P_0 T$ 存在，则曲线弧$\widehat{P_0 P}$可以近似用$P_0P$替代
 ![图片](/uploads/2025-01/333b65.svg){width=400px}

即： $x_0$ 附近曲线与直线的近似可以表示
$$
\begin{aligned}
&\underbrace{f\left(x_0+\Delta x\right)}_{\text {曲线 }}=\underbrace{f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x}_{\text {切线 }}+\underbrace{o(\Delta x)}_{\text {代表非常小的值 }}
\end{aligned}
$$

在一元曲线里，我们使用**切线替代了曲线**，而在二元曲线里，我们自然想用**切平面替代曲面**

### 切平面
在一个曲面上，取一个极小的面积元，我们将通过极限思维研究这个面积元。
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)
 
 把上面这个极小的面积元放到放大倍数无限大的显微镜下观看，如下：
 红色表示原始曲面，而深蓝色表示曲面的法平面。
 
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px}
 
可以证明[详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)，如果曲线是光滑、连续的，那么，过曲线上固定的这一点的所有切线都在一个平面内，这个平面叫做切平面。

下面的问题是：我们能否用切平面替代曲面呢？如下图，在曲面上取一点$f(x_0,y_0)$, 并沿$x,y$再取极小的一段$\Delta x, \Delta y$
可以求的曲面与切平面的近似值为

$$
\underbrace{f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)}_{\text {曲面 }}=\underbrace{f\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y}_{\text {切平面 }}+\underbrace{o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)}_{\text {代表非常小的值 }}
$$

上面出现了 $o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$ 
这是以此点的邻域是半径为$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$的圆

![图片](/uploads/2025-01/8b5132.jpg){width=500px}

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