最后更新: 2025-11-03 06:55 查看: 1162 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

偏导数的几何意义★★★★★

## 一元导数
在一元函数里，函数$y=f(x)$在$x_0$的导数的几何意义就是该曲线在该$x_0$点切线的斜率。而一阶微分的意义是用 **切线的长度近似曲线的长度**。 而偏导数的意义就是求曲面上一点，分别对$x$轴和$y$轴的斜率，而二阶全微分的意义就是**切平面近似替代曲面**
 ![**图片](/uploads/2025-01/dcc24b.svg){width=200px}

## 二元偏导数的几何意义
对于二元数$z=f(x,y)$必须牢记，他表示的是一个曲面，为了查看这个曲面，需要放在立体空间里（如下图）。

![图片](/uploads/2025-04/d32ffb.jpg){width=500px}

所谓偏导数，相当于是求曲面上一点的切线。但是，过曲面上一点有无数条切线，需取哪个切线呢？（参考上图，过P点，曲面有无数条切线）

答案是：**我们只求沿平行X坐标轴和Y坐标轴的切线**。

对$x$求导时，相当于表示曲线对$x$轴的夹角的斜率，而对$y$求导，相当于表示曲线对$y$轴夹角的斜率。

> **注意：切平面反应的是该点“局部”的特征。比如上图，我们能想象$P$点的切平面和曲面相交形成两个双曲线，没关系，因为切面是那一点的特征**

## 二元偏导数求法

对X轴求偏导的几何意义
（1）空间有一个曲面
 ![图片](/uploads/2025-01/325a93.jpg){width=300px}

（2）想象一下拿一把刀沿平行于$x$轴砍一刀（只有沿平行X轴时，Y值不变），
 ![图片](/uploads/2025-01/e920b7.jpg){width=300px}

（3）刀痕和曲面相交，形成一个曲线
 ![图片](/uploads/2025-01/ae7d83.jpg){width=300px}

（4）在曲线上取一点，做曲线的切线，就是函数对$x$轴的偏导数。
 ![图片](/uploads/2025-01/0fef0f.jpg){width=300px}
 
（5）同理，可以得到函数对$y$轴的偏导数。

从上面求偏导数可以看到，核心点是，**在对$x$求偏导时，把$y$看成常数，在对$y$求偏导时，把$x$看成常数**。

下图更形象的展示了对$x$求偏导的几何意义， 根据一元导数的定义，对$X$轴的偏导，相当于是求对$x$轴的斜率。

![图片](/uploads/2022-12/image_202212313903799.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial x }$ 
解：通过上面分析，当对$x$求偏导数时，因为是沿平行于$x$轴进行切割，所以$y$值是固定的，换句话说，需要把$y$看成常数，得
$$
 \frac{\partial z}{\partial x}=y e^{x y}+2 xy
 $$

###  对Y轴求偏导
同样，对$y$求偏导时，把$x$看成常数，参考下图 偏导数 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 就是曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T_y$ 对 $y$ 轴正向的斜率(图 6-9).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212314dc5be4.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial y }$ 
解：通过上面分析，当对$y$求偏导数时，因为是沿平行于$y$轴进行切割，所以$x$值是固定的，换句话说，需要把$x$看成常数，得
$$
  \frac{\partial z}{\partial y}=x e^{x y}+x^2
 $$
 
 
## 一元微分与二元微分的几何意义
### 一元微分
对于一元微分，如果函数是**连续并且光滑的**，可以用**切线长近似替代曲线长**。如下图所示，设 $P_0$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 $P_0$时，并且割线 $P P_0$ 的极限位置 $P_0 T$ 存在，则曲线弧$\widehat{P_0 P}$可以近似用$P_0P

其他版本
【数学分析】方向导数和梯度【高等数学】梯度【数学分析】偏导数的几何意义

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：偏导数

下一篇：高阶偏导数与拉普拉斯方程

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (1)