最后更新: 2026-01-07 07:56 查看: 386 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单个正态总体的参数的区间估计★★★★★

> 在实际问题当中，对正态分布的均值和方程估计非常常见，依据 $\mu, \sigma^2$ 的不同，主要分为四种情况，下面分布介绍。

## （1）$\sigma^2$ 已知，均值 $\mu$ 的置信区间

**证明** 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$ 为已知，$\mu$ 为末知的样本，求置信概率为 $1-\alpha$ 的 $\mu$ 的置信区间。

解： 由 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本及 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计可知，

$$
u=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)
$$

由标准正态分布分位点 $u_{\alpha / 2}$ 的定义，有

$$
P\left\{\left|\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right|<u_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha
$$

即

$$
P\left\{\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha / 2}<\mu<\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha
$$

所以置信概率为 $1-\alpha$ 的 $\mu$ 的置信区间为

$$
\boxed{
\left[\bar{X}-u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] .
}
$$

常写成 $\left(\bar{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha / 2}\right)$ ．

上面的证明过于抽象，下面例题反应他的实际意义。

`例` 新疆旅游局为调查新疆旅游者的平均消费额，随机访问了 100 名旅游者，得知平均消费额 $\bar{x}=80$ 元。根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差 $\sigma=12$ 元，求该地旅游者平均消费额 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的置信区间．

**分析：本题要求估算旅游者平均消费额多少钱，现在已经知道平均消费$80$元，这是一个点估计，本题要求给出的是区间估计，结合本题稍后给出的答案，本题可以转换为：我有$95 \%$的把握说用户的平均消费金额在$77.6 \sim 82.4$**

$95 \%$ 的置信区间就是要求所估计的平均消费金额有$95 \%$可能性在下图大的阴影面积里。
 
 ![图片](/uploads/2025-09/4ec326.jpg){width=500px}

因为考试时正态分布表不会给你数据直接查，所以需要进行转换。换句话说两旁的黄色面积总和为0.05, 考虑标准正态分布的对称性直接把$\alpha$除以2， 所以两侧黄色阴影的面积各为$\frac{\alpha}{2}=0.025$

由此可得斜线阴影面积为 $0.025+0.95=0.975$
 ![图片](/uploads/2025-09/7b96c5.jpg){width=500px}
 
下面把视角切换到正态分布表里。 从正态分布分位数表可以看到当$u_a=1.96$ 时，阴影面积正好为0.975.

> 上面这个结论最好记住：当正态分布估计量上下浮动$\pm 1.96$时,此时具有 $95\%$ 的可信度，这是一个常用的结论

![img-text](/uploads/2024-12/99cf81.jpg){width=600px}

解:

对于给定的置信度

$$
1-\alpha=0.95
$$

可知

$$
\alpha=0.05, \quad \alpha / 2=0.025
$$

查标准正态分布表得
附录给出了 [标准正态分布分位表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1611)

$$
u_{0.025}=1.96
$$

由

$$
n=100, \quad \bar{x}=80, \quad \sigma=12, \quad u_{0.025}=1.96
$$

计算得

$$
\bar{x}-u_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=80-1.96* \frac{12}{\sqrt{10}}=82.4=77.6,  \quad 
 \bar{x}+u_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=80+1.96* \frac{12}{\sqrt{10}}=82.4,
$$

所以 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的置信区间为 $(77.6,82.4)$ ，

即在已知误差为 $\sigma=12$ 的情形下，可以 $95 \%$ 的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 $77.6 \sim 82.4$ 元范围内．

**扩展本题**
如果本题要求有$90\%$的置信区间呢？此时阴影面积为$0.9+0.05=0.95$，查表得$u_a=1.645$

计算得 
$$
 \bar{x}-u_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=80-1.645* \frac{12}{\sqrt{10}}=82.4=78.0
  \quad
\bar{x}+u_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=80+1.645* \frac{12}{\sqrt{10}}=82.0 
$$
 
对结果解读：

> 如果领导问你，游客平均消费多少呀？你可以回答，我有$95\%$的把握说用户消费金额在$77.6 \sim 82.4$ 之间，如果希望更精确的消费答案，我有$90\%$的把握说用户消费金额在 $78.0 \sim 82.0$之间。从本题还可以看到，因为后者限定的范围更小，导致我在估算时的保证度降低，所以需要理解其中的含义。

![图片](/uploads/2025-09/210

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