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概率论与数理统计
第七篇 参数估计
均值的置信区间
日期:
2023-10-01 11:28
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均值的置信区间
01.已知方差 $\sigma^2$ ,期望 $\mu$ 的双侧置信区间; 02.方差 $\sigma^2$ 末知,期望 $\mu$ 的双侧置信区间. (1)已知方差 $\sigma^2$ ,期望 $\mu$ 的双侧置信区间 首先, $\mu$ 的无偏估计 $\bar{X}$ ,其次,构造随机变量 $$ G(\mu, \bar{X})=\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$ 则 $\alpha, b$ 需要满足 取 $$ a=u_{\frac{\alpha}{2}}=-u_{1-\frac{\alpha}{2}}, \quad b=u_{1-\frac{\alpha}{2}} $$ 不等式等价变形后即得 $\mu$ 的双侧置信区间: $$ \mu \in\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$ 相应的置信区间观测值为: $$ \mu \in\left[\bar{x}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$ 如果要求 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间,则 一方面,由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \leq b\right)=1-\alpha$ ,可得 $b=u_{1-\alpha}$ ,即 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间的置信 另一方面,由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \geq a\right)=1-\alpha$ ,可得 $a=u_\alpha=-u_{1-\alpha}$ ,即 $\mu_{\text {的单侧 } 1-\alpha \text { 置信 }}$ 区间的置信下限为 $\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ,相应的 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $\left[\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right.$, $\left.+\infty\right)$. ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103895353c.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103c1d8a39.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103f6f5601.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103bed69f4.png)
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