最后更新: 2026-01-07 07:57 查看: 453 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

两个正态总体的参数的区间估计

> 已知某产品的质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同或工艺过程的改变等原因，都会引起总体的均值或方差有所改变，我们需要知道这种改变有多大？这就需要考察两个正态总体的均值差或方差比的区间估计问题．下面我们给出正态总体参数区间估计的几种常见类型．对于非正态总体情形，即总体不服从正态分布或者不知道总体服从什么分布，一般采用大容量的样本，根据中心极限定理，按照正态分布近似处理．

**两个正态总体的参数的区间估计**
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ ，总体 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X$ 与 $Y$ 相互独立，样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 来自总体 $X$ ，样本 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 来自总体 $Y$ ．

## （1）$\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 已知，均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间
 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均为已知．因 $\bar{X}, \bar{Y}$ 分别为 $\mu_1, \mu_2$ 的无偏估计，故 $\bar{X}-\bar{Y}$ 是 $\mu_1-\mu_2$的无偏估计． 
由于 $\bar{X} \sim N\left(\mu_1, \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right), \bar{Y} \sim N\left(\mu_2, \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$ ，且 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 相互独立，所以

$$
\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)
$$

取枢轴量为

$$
U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1),
$$

可得 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$
\boxed{
\left[(\bar{X}-\bar{Y})-u_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}},(\bar{X}-\bar{Y})+u_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right]
}
$$

##  （2）$\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 未知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间

由于总体方差 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 未知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，有 [正态总体的抽样分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=570),  故取枢轴量

$$
\boxed{
T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t\left(n_1+n_2-2\right) ...(2)
}
$$

且

$$
S_w^2=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}
$$

可得 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$
\boxed{
\left[\bar{X}-\bar{Y}-t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1+n_2-2\right) S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \bar{X}-\bar{Y}+t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1+n_2-2\right) S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]
}
$$

> **两个正态分布参数估计主要

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：单个正态总体的参数的区间估计★★★★★

下一篇：附表：参数估计服从分布表与例题 ★★★★★

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)