最后更新: 2025-10-31 11:57 查看: 1031 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

条件极值与拉格朗日乘数法★★★★★

## 什么是拉格朗日乘子法
在日常生活中, 我们会面临各种各样的寻求极值的问题。例如, 寻求在定义域内函数 $f(x)$ 的极值, 简单讲, 在一元函数中, 即我们就需要求得导数为零的点。到了多元情况下, 就需要考虑函数 $f\left(x_1, x_2, \ldots\right)$ 对各个分量的偏导数为零的点。一般情况下变量的取值为整个实数域时就只需要按求导思想解方程即可, 现实的问题多是, 如何在一定的限制条件下, 寻求目标函数的极值。比如说, 要寻找 $f(x, y)$ 在约束条件下 $g(x, y)=0$ 的极值。

通常很容易想到的代数方法是, 把 $g(x, y)=0$ 中的 $y$ (或是 $x$ ) 用 $x$ （或是 $y$ ）来显示表达出来, 得到函数 $y=h(x)$ （或是 $x=h(y)$ ) 带回到函数 $f(x, y)$ 中得到函数 $F(x)=f(x, h(x))$ , 然后按一元函数求解极值的方法, 即求导数为零的点来计算极值。

现在, 有的问题是, 万一 $g(x, y)=0$ 中的 $x$ 或是 $y$ 不可显示表达, 那该如何解决呢?

拉格朗日乘子法给出了解决这类问题的方案，这是大数学家拉格朗日的伟大创造之一。

我们先给出步骤，然后通过一个例子实践，再来解释原因。

## 具体步骤
 
首先, 给出一个拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda g(x, y)$, 求出拉格朗日函数的极值,就可以得到 $f(x, y)$ 的极值。 
（1）构造拉格朗日函数 $F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$ ；
（2）求 $F(x, y, \lambda)$ 的所有可能极值点，即解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
F_x=f_x\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_x\left(x_0, y_0\right)=0 \\
F_y=f_y\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_y\left(x_0, y_0\right)=0 \\
F_\lambda=\varphi\left(x_0, y_0\right)=0
\end{array}\right.
$$

（3）判断所求出的可能极值点是否为目标函数的极值点．
至于如何判断，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．

`例`有一个目标函数 $f(x, y)=x^2+y^2$, 且有一个约束条件为 $g(x, y)=x+y-10=0$ 。现在, 要找到满足这个约束条件的 $f(x, y)$ 的最小值。
解：使用拉格朗日乘子法来解决这个问题。
首先, 定义一个新的函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda * g(x, y)$, 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
即  $L(x, y, \lambda)= x^2+y^2 + \lambda (x+y-10) $

然后, 我们要找到 $L(x, y, \lambda)$ 的极值。为了找到极值, 需要解出 $L(x, y, \lambda)$ 的梯度等于 0 的方程组。
 
对于 $L(x, y)$, 求偏导我们有:

$$
\begin{gathered}
 \dfrac{\partial L}{\partial x}=2 x+\lambda \\
 \dfrac{\partial L } {\partial y}=2 y+ \lambda \\
\end{gathered}
$$

为了找到 $L(x, y, x)$ 的极值, 需要解出:

$$
\left \{
\begin{gathered}
2 x+\lambda=0 \\
2 y+\lambda=0 \\
x+y-10=0
\end{gathered}
\right.
$$

方程组。我们很容易可以得到 $x=-5, y=5$ 和 $\lambda=-5$ 。将这些值代入原目标函数 $f(x, y)$, 我们可以得到 $f(-5,5)=5^2+5^2=50$ 。因此, 在约束条件下, $f(x, y)$ 的最小值为 50

## 拉格拉日乘法子为什么可以求极值？
在上面，我们看到，通过构造一个$L(x,y,\lambda)$ 函数，就可以求得他的极值，这里对其原理进行简单解释。

### 平面上的极值
假设有一个函数，$f(x,y)=x^2+y^2$，我想找在 $xy=3$的限制条件下，求他的最小值。那么怎么求这个极值呢？

为了方便理解，我们先从几何上解释，$xy=3$ 表示的在一、三象限的双曲线，参考下图

![图片](/uploads/2025-05/1ecdf3.jpg){width=300px}
 
 
而$f(x,y)=x^2+y^2$ 表示坐标平面上一点到原点的距离平方。假设求的极值为$C$，不难理解，$f(x,y)=C$是以原点为圆心，半径为$\sqrt{C}$的圆。

我们在求函数$f(x,y)$ 极值时，可以想象为让这个“圆”像电磁波一样，逐渐向外扩张 参考下图 ，不难发现，**当外围的蓝线和黄色的双曲线“相切”的那一瞬间（也就是切点），函数$f(x,y)$的极值开始出现**

原因很简单，“电磁波”再继续往外扩展，圆的半径会更大，就算电磁波与曲线有交点，他也不是函数$f(x,y)$ 的极小值。

![图片](/uploads/2025-05/01db6d.jpg){width=300px}

由此得出结论：函数的极值出现在 $f(x, y)$ 曲线与 $g(x, y)$ 曲线相切处。  
而且不难发发现，假设切点为$P$，则连接$OP$的向量垂直曲线$g(x,y)=3$在该点的的切线向量。

### 等值线
现在我们把上面思想进行推广,假设有一个二元函数$z=f(x,y)$，他表示的是空间曲面，所以需要放到三维里，每给一个$x,y$， 会有一个$z$值。
我们用一个个平面水平切割曲线，然后投影，在$xoy$ 上会得到一个个圆圈，他是等值线在平面上的投影。
![img-text](/uploads/2025-04/f279cb.jpg){width=300px}

下面用一个更具体的例子说明，想象一个山坡，用水平平面切割他，然后往地面上投影，就形成了一圈圈的**等值线**。

![img-text](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=400px}

引入等值线后，你会发现，在等值线的一些列圆圈里面，**越往里走，函数值越大（越小），即他是单调的**，这样，就把三维问题降维到二维处理。

### 三维空间
**情况1** 假设有一个曲面被平面所切，参考下图，即在三维空间有目标函数 $z=f(x,y)$ 和约束函数 $\varphi (x,y)=0$，我们要求$z$的极值，把这2个函数往

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【数学分析】Lagrange 乘子法

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