最后更新: 2024-12-27 22:48 查看: 753 次反馈同步训练

二元函数的最大值与最小值

## 二元函数的最大值与最小值
在上节指出，如果函数 $z=f(x, y)$ 在闭区域上连续，那么他在闭区 域上一定有最大值和最小值. 函数最大值和最小值的求法，与一元函数的解法类似，可以利用函数的极值来求. 求函数 $f(x, y)$ 的最大值和最小值的一般步骤为:
(1) 求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内所有驻点处的函数值;
(2) 求 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界上的最大值和最小值;
(3) 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者 即为最小值.

`例` 求函数 $f(x, y)=x^2-2 x y+2 y$ 在矩形域
$D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2\}$ 上的最大值和最小值.
解 先求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内驻点. 由 $f_x=2 x-2 y=0, f_y=-2 x+2=0$ 求得 $f$ 在 $D$ 内部的唯一驻点 $(1,1)$, 且 $f(1,1)=1$. 其次求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界上的最大值和 最小值.
如图 6-17 所示.区域 $D$ 的边界包含四条直线 段 $L_1, L_2, L_3, L_4$.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212315ef3696.png)

在 $L_1$ 上 $y=0, f(x, 0)=x^2, 0 \leq x \leq 3$. 这是 $x$ 的单调增加函数，故在 $L_1$ 上 $f$ 的最大 值为 $f(3,0)=9$, 最小值为 $f(0,0)=0$.
同样在 $L_2$ 和 $L_4$ 上 $f$ 也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为

$$
f(3,0)=9, f(3,2)=1 \text { (在 } L_2 \text { 上)， } f(0,2)=4, f(0,0)=0 \text { (在 } L_4 \text { 上)， }
$$

而在 $L_3$ 上 $y=2, f(x, 2)=x^2-4 x+4,0 \leq x \leq 3$, 易求出 $f$ 在 $L_3$ 上的最大值 $f(0,2)=4$, 最小值 $f(2,2)=0$.
将 $f$ 在驻点上的值 $f(1,1)$ 与 $L_1, L_2,

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