方程组解的判定

## 方程组解的判定

> 本文通过行列式判断方程组的解，后面矩阵里有更详细的介绍，或者参考 [附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)

根据克莱默法则，容易得到如下结论：

### 定理 1
如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组一定有解，且解是唯一的.

### 定理 2
如果线性方程组 $A X=\beta$ 无解或有无穷多解，则它的系数行列式必等于零， 即 $|A|=0$.

### 完理3
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \mid \neq 0$ ，则它只零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$.

### 定理4
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 有非零解，则必有它的系数行列式等于零， 即 $|A|=0$.

## 例题

行列式提供了对方程解的判断。请看下面例题。换句话说，对方程组的求解压力转移到行列式的计算上。

`例`问 $\lambda$ 取何值时，下面的齐次线性方程组有非零解?

$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_1+x_2+3 x_3=0 \\
x_1+(\lambda-1) x_2+x_3=0 \\
x_1+x_2+(\lambda-1) x_3=0
\end{array}\right.
$$

解 若所给齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 $|A|=0$. 即

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 3 \\
1 & \lambda-1 & 1 \\
1 & 1 & \lambda-1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 3 \\
1 & \lambda-1 & 1 \\
0 & 2-\lambda & \lambda-2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 4 \\
1 & \lambda-1 & \lambda \\
0 & 2-\lambda & 0
\end{array}\right|=(2-\lambda)(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc}
\lambda & 4 \\
1 & \lambda
\end{array}\right|=(\lambda-2)^2(\lambda+2)=0
$$

所以当 $\lambda=-2$ 或 $\lambda=2$ 时，该齐次线性方程组有非零解.

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