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线性代数
第一篇 行列式
方程组解的判定
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2025-03-02 07:06
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方程组解的判定
## 方程组解的判定 > 本文通过行列式判断方程组的解，后面矩阵里有更详细的介绍，或者参考 [附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234) 关于方程组的解求解，具体请参考[方程组解的判断](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1357) 根据克莱默法则，容易得到如下结论： ### 定理 1 如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组一定有解，且解是唯一的. ### 定理 2 如果线性方程组 $A X=\beta$ 无解或有无穷多解，则它的系数行列式必等于零， 即 $|A|=0$. ### 完理3 如果齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \mid \neq 0$ ，则它只零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$. ### 定理4 如果齐次线性方程组 $A X=0$ 有非零解，则必有它的系数行列式等于零， 即 $|A|=0$. ## 例题 行列式提供了对方程解的判断。请看下面例题。换句话说，对方程组的求解压力转移到行列式的计算上。 `例`问 $\lambda$ 取何值时，下面的齐次线性方程组有非零解? $$ \left\{\begin{array}{l} \lambda x_1+x_2+3 x_3=0 \\ x_1+(\lambda-1) x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+(\lambda-1) x_3=0 \
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