最后更新: 2025-10-10 15:29 查看: 414 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

方程组解的判定★★★★★

## 方程组解的判定

**克莱姆法则(以二阶为例)** 
对于二阶线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2\end{array}\right.$, 其克莱姆法则的解为

$$
x=\frac{\left|\begin{array}{ll}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_1 & b_2
\end{array}\right|}
$$

仔细观察方程解的分母，他就是系数行列式，

$$
|A|=\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_1 & b_2
\end{array}\right|
$$

因此，我们得到第一个定理：

**定理1**
如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，且解是唯一的。

**定理2**
如果线性方程组 $A X=\beta$ 无解或无穷多解，则它的系数行列式必等于零， 即 $|A|=0$.

> 定理1和定理2反应了 行列式和方程解的**对立**。通俗的说：**就是和你对着干**。
行列式的值**不**为零，我就**有**解。 
行列式的值**是**零，我就**无**解或**无**穷解。

**完理3**
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \mid \neq 0$ ，则它只零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$.

**定理4**
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 有非零解，则必有它的系数行列式等于零， 即 $|A|=0$.

> 定理3和定理4也反应了 行列式和方程解的**对立**。
行列式的值**非零**，我就只有**零**解。 
行列式的值是为**零**，我有**非零**解。

例如
$$
\left\{\begin{array}{l} x+y=2\\ 2 x+ 2 y=4\end{array}\right.
$$

方程系数成比例， 因此行列式等于零，有无穷多解。

方程解的判定见下表，完整介绍点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1369)

![img-text](/uploads/2025-07/9301d7.jpg)

## 例题

行列式提供了对方程解的判断。请看下面例题。换句话说，对方程组的求解压力转移到行列式的计算上。

`例`问 $\lambda$ 取何值时，下面的齐次线性方程组有非零解?

$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_1+x_2+3 x_3=0 \\
x_1+(\lambda-1) x_2+x_3=0 \\
x_1+x_2+(\lambda-1) x_3=0
\end{array}\right.
$$

解 若所给齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 $|A|=0$. 即

$$
|\boldsymbol{A}|=\left

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