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克莱默Cramer法则

## 克莱默法则
设有一个含有 $n$ 个末知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n, n$ 个线性方程的方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n,
\end{array} \longleftrightarrow \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}\right.
$$

其中

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)
$$

### Cramer (克莱默) 法则
如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组有唯一解：

$$
x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}, x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{|\boldsymbol{A}|},
$$

其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式的第 $j$ 列元素用 $\beta$ 的元素代替后得到的行列式.
证明 因为 $|A| \neq 0$ ，所以 $A^{-1}$ 存在. 令 $X=A^{-1} \beta$ ，则有 $A X=A\left(A^{-1} \beta\right)=\beta$ ，即 $X=A^{-1} \beta$ 是线性方程组的解.
且由 $A^{-1}$ 的唯一性可知，线性方程组的解是唯一的.
由求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$ 可得 $X=A^{-1} \beta=\frac{1}{|A|} A^* \beta$ ，

### 用克莱默法则求解线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2-x_3 & =-1 \\
-2 x_1+2 x_2+x_3 & =1 \\
2 x_1-x_2+3 x_3 & =1
\end{aligned}\right.
$$

解：

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 5
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right|=1 \neq 0, \quad D_1=\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=-2,
$$

$$
D_2=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=-2, \quad D_3=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 3
\end{array}\right|=1,
$$

因此 $\quad x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_3=\frac{D_3}{|\boldsymbol{A}|}=1$.

## 克莱姆法则的作用

1750 年, 瑞士的克莱姆发现了用行列式求解线性方程组的克莱姆 (Cramer) 法则。这个法则在表述上简洁自然, 思想深刻, 包含了对多重行列式的计算, 是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则, 就难以领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。
#### 二阶克莱姆法则 
对于二阶线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2\end{array}\right.$, 其克莱姆法则的解为

$$
x=\frac{\left|\begin{array}{ll}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_1 & b_2
\end{array}\right|}
$$

#### 三阶克莱姆法则

三阶线性方程组如下:

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\
a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\
a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
\end{array}\right.
$$

其克莱姆法则的解为

$$
x=\frac{\left|\begin{array}{lll}
d_1 & b_1 & c_1 \\
d_2 & b_2 & c_2 \\
d_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{lll}
a_1 & d_1 & c_1 \\
a_2 & d_2 & c_2 \\
a_3 & d_3 & c_3
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|}, z=\frac{\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & d_3
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|}
$$

克莱姆法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁地表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大, 常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。

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