最后更新: 2026-01-12 11:54 查看: 583 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

范德蒙德Vandermonde行列式

## 范德蒙行列式
形如

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$ 。

的行列式被称呼为 $n$ 阶的范德蒙德 (Vandermonde) 行列式。

**分析** 构成本行列式元素的特点是：第 1 行全为 1 ，第 2 行为 $x_j(j=1,2$ ， $3,4)$ ，第3行为 $x_j^2$ ，第4行为 $x_j^3$ ，或说元素 $a_{i j}=x_j^{i-1}(i, j=1,2,3,4)$ 。具有这样特点的行列式称为 Vandermonde 行列式。利用其特点，可以用**逐行相减**的方法化简：每一行的 $\left(-x_1\right)$ 倍加到下一行上，可将 $a_{21}, a_{31}, a_{41}$ 都化为零，再处理，以四阶为例，如下图

![图片](/uploads/2026-01/370d6a.jpg)

![图片](/uploads/2026-01/2319b1.jpg)

这就是4阶范德蒙德行列式的值。

一般的$n$ 阶范德蒙行列式 $D_n= \prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_i-x_j\right)$

①这里$\prod$ 是连乘的符号。
②请注意上面的连乘 $1 \leq j<i \leq n$ ,注意后面是$j<i$，不能是 $j \leq i$，否则就变成0了。

**记忆方法**
**盯着第二行，后一项减前一项的所有项的乘积。**
 ![图片](/uploads/2025-03/938b78.jpg)

#### 当n=3的范德蒙行列式
当 $n=3$ 的情况，
$D_3=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2\end{array}\right|=\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_1\right)$

#### 当n=4的范德蒙行列式
当 $n=4$ 的情况
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & x_4^3
\end{array}\right|=\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_4-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_4-x_2\right)\left(x_4-x_3\right)
$$

## 例题

`例`计算
$$D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 9 & 16 \\
1 & 8 & 27 & 64
\end{array}\right| .
$$

解： 第一行可以提取出公因子2，则余下的就是范德蒙行列式。

只看第二行数据，即盯着第二行，后一项减前一项的**所有项**的乘积。

$$
D=2\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 9 & 16 \\
1 & 8 & 27 & 64
\end{array}\right|=2(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=24 .
$$

注意：因为转置行列式与行列式的值相等，在考试时，有时候老师会反过来写，比如

$$
D_2=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27 \\
1 & 4 & 16 & 64
\end{array}\right|
$$

>**此时，你也需要认出这是范德蒙行列式，不要写成转置，你就不认识他了。**

## 例题

`例` 计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & a_1^{n-2} b_1^2 & \cdots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\
a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & a_2^{n-2} b_2^2 & \cdots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & a_{n+1}^{n-2} b_{n+1}^2 & \cdots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n
\end{array}\right| .
$$

分析 首先认清这是一个 $(n+1)$ 阶的行列式．其次构成本行列式元素的特点是：第 $i$ 行的元素，由 $a_i$ 的降幂及 $b_i$ 的升幂排列．$a_i$ 由 $n$ 次降为零次，$b_i$由零次升为 $n$ 次。根据这一特点，若每一行分别提出公因子 $a_i^n$ 后，就变成 $\left(\frac{b_i}{a_i}\right)$ 的升幂排列：从零次到 $n$ 次——这就是一个 $(n+1)$ 阶的 Vandermonde行列式

解

$$
\begin{aligned}
D_{n+1} & =a_1^n \cdot a_2^n \cdots a_{n+1}^n \cdot\left|\begin{array}{cccc}
1 & \left(\frac{b_1}{a_1}\right) & \left(\frac{b_1}{a_1}\right)^2 & \cdots \\
1 & \left(\frac{b_2}{a_2}\right) & \left(\frac{b_1}{a_1}\right)^n \\
\vdots & \cdots & \vdots & \left(\frac{b_2}{a_2}\right)^n \\
1 & \left(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right) & \left(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right)^2 & \cdots \\
& \left(\frac{b_{n

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：反对称行列式与准对称行列式

下一篇：克莱默Cramer法则

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)