最后更新: 2025-03-02 15:29 查看: 31 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

反对称行列式与准对称行列式

## 反对称行列式(1)
形如
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
x & a & a & \cdots & a & a \\
-a & x & a & \cdots & a & a \\
-a & -a & x & \cdots & a & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & -a & x
\end{array}\right|
$$

为反对称行列式。

## 准对称行列式(2)
形如
$$
\left|\begin{array}{llllll}
x & y & y & \cdots & y & y \\
z & x & y & \cdots & y & y \\
z & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & y \\
z & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right|
$$
 为准对称行列式
 
 
 
  容易发现(2)中行列式是(1)的一般形式，只需令$y=a,z=-a$ 便变成了(1),
 我们只计算(2). 采用递推方式与行列式转置相等的性质计算。
 
 
 「解」（2）分两种情况讨论：
i）当 $y=z$ 时，为行和相等行列式，让所有列均加到第一列，得到

$$
\begin{aligned}
& D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
x & z & z & \cdots & z & z \\
z & x & z & \cdots & z & z \\
z & z & x & \cdots & z & z \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & z \\
z & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc}
x+(n-1) z & z & z & \cdots & z & z \\
x+(n-1) z & x & z & \cdots & z & z \\
x+(n-1) z & z & x & \cdots & z & z \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x+(n-1) z & z & z & \cdots & x & z \\
x+(n-1) z & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right| \\
&=[x+(n-1) z]\left|\begin{array}{cccccc}
1 & z & z & \cdots & z & z \\
1 & x & z & \cdots & z & z \\
1 & z & x & \cdots & z & z \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & z & z & \cdots & x & z \\
1 & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&=[x+(n-1) z]\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & x-z & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & x-z & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & x-z & 0 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x-z
\end{array}\right| \\
&=[x+(n-1) z](x-z)^{n-1}
\end{aligned}
$$

ii）当 $y \neq z$ 时，
a．先构造原行列式的递推关系：

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
x & y & y & \cdots & y & y \\
z & x & y & \cdots & y & y \\
z & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & y \\
z & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right| \xlongequal{j_2 \times(-1)+j_1}\left|\begin{array}{cccccc}
x-y & y & y & \cdots & y & y \\
z-x & x & y & \cdots & y & y \\
0 & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & z & z & \cdots & x & y \\
0 & z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right|
$$

$$
\begin{gathered}
=(x-y) D_{n-1}+(x-z)\left|\begin{array}{ccccc}
y & y & \cdots & y & y \\
z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
z & z & \cdots & x & y \\
z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right| \\
=(x-y) D_{n-1}+(x-z) \frac{y}{z}\left|\begin{array}{ccccc}
z & z & \cdots & z & z \\
z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
z & z & \cdots & x & y \\
z & z & \cdots & z & x
\end{array}\right| \\
=(x-y) D_{n-1}+(x-z) \frac{y}{z}\left|\begin{array}{cccccc}
z & \vdots & & & \vdots & \vdots \\
0 & x-z & \cdots & y-z & y-z \\
\vdots & 0 & \cdots & x-z & y-z \\
0 & 0 & \cdots & 0 & x-z
\end{array}\right| \\
=(x-y) D_{n-1}+y(x-z)^{n-1}
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { b．构造转置行列式的递推关系：将a．中 } z=y, y=z \text { ，（为转置行列式，依然 }=D_n \text { ），得到 }\\
&\begin{aligned}
& D_n=(x-z) D_{n-1}+z(x-y)^{n-1} \\
& \text { 联立两式, } D_n=\frac{y(x-z)^n-z(x-y)^n}{y-z}
\end{aligned}\\ 
\end{aligned}
$$

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