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矩阵的秩的意义(向量版)

> **说明** 本文介绍矩阵的秩，是从向量空间角度进行理解，适合具有一定线性基础的人进行阅读，如果您是初学者，推荐你首先查看[矩阵的秩的意义(方程组版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1863) 的课程进行理解。矩阵的秩的本质反映的是方程组里，有效的方程的个数。

## 矩阵的秩的意义(向量版)
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩一般记为 $R(\boldsymbol{A})$ 。
矩阵秩的实质就是矩阵行向量组的秩和列向量组的秩的问题。行向量组张成了行空间，列向量组张成了列空间。这里有个可以称为矩阵秩的几何意义的结论：

**任何矩阵行空间的维数 = 列空间的维数= 这个矩阵的秩。**

如果是一个满秩的方阵，很好理解，因为方阵的行数等于列数，秩都相等啊。比如我们常见的笛卡尔坐标系。

如果是一个不满秩的方阵呢？
在回答这个问题之前，先看一个＂不方＂的矩阵（行数不等于列数的矩阵）：

$$
\left[\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{array}\right]
$$

看起来，这个矩阵的行空间是由三个二维的行向量 $\left(a_1, b_1\right),\left(a_2, b_2\right),\left(a_3, b_3\right)$ 所张成的。等等，怎么向量是二维向量啊，三个二维向量肯定是线性相关的。二维向量最多能张成一个二维的**平面空间**。

Ok ，假设是行向量可以张成二维空间，就是行空间的维数是 2 。

再看列向量，列向量有两个：$\left(a_1, a_2, a_3\right)^{\mathrm{T}}$ 和 $\left(b_1, b_2, b_3\right)^{\mathrm{T}}$ 。两个三维的向量能张成几维的空间？最多只能张成两维的空间。注意，这个二维的空间是三维空间中的子空间。

因此，列向量也是张成一个维数是 2 的列空间（必然，因为前面有个行空间维数是 2 的假设，这句话暂不明白没关系，继续往下看），两个空间的维数相等，因此 2 就是这个矩阵的秩了。

现在回答前面关于一个不满秩的方阵的秩的问题就容易了。举个三阶的方阵：

$$
\left[\begin{array}{l:l:l}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right]
$$

不满秩，意思不是行向量组线性相关就是列向量组线性相关。假设列向量组线性相关，列向量 $\left(c_1, c_2, c_3\right)^{\mathrm{T}}$ 可以被列向量 $\left(a_1, a_2, a_3\right)^{\mathrm{T}}$ 和 $\left(b_1, b_2, b_3\right)^{\mathrm{T}}$（假设这俩向量线性无关）线性表示。列向量。组里面的向量 $\left(c_1, c_2, c_3\right)^{\mathrm{T}}$ 就可以删除了，在方阵里面呢，就用 0 替代它，即

$$
\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & 0 \\
a_2 & b_2 & 0 \\
a_3 & b_3 & 0
\end{array}\right]
$$

看后面的矩阵，这实际上又回到了前面不方的矩阵的秩的问题上了。三个行向量 $\left(a_1, b_1, 0\right)$ 、 $\left(a_2, b_2, 0\right) 、\left(a_3, b_3, 0\right)$ 在一个二维平面上，因此哥仨也肯定线性相关了。假设行向量 $\left(a_3, b_3, 0\right)$可以被行向量 $\left(a_1, b_1, 0\right)$ 和 $\left(a_2, b_2, 0\right)$ 线性表示，那么矩阵继续等价下去：

$$
\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & 0 \\
a_2 & b_2 & 0 \\
a_3 & b_3 & 0
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ccc}

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