最后更新: 2025-07-19 07:39 查看: 497 次反馈同步训练

矩阵秩的性质与求法

## 矩阵秩的基本性质
### 性质1：初等行变换不改变矩阵的秩。
### 性质2：初等列变换不改变矩阵的秩
### 定理3：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，

即若 $A \sim B$ ，则 $R( A )=R( B )$ ．
已知矩阵的初等行变换不改变知阵的秩．对矩阵 $A$ 实施初等列变换变为矩阵 $B$ ，相当于对矩阵 $A ^{ T }$ 实施初等行变换变为矩阵 $B ^{ T }$ ，又知 $R( A )=R\left( A ^{ T }\right), R( B )=R\left( B ^{ T }\right)$ ，所以对矩阵 $A$ 实施初等列变换变为矩阵 $B$ ，仍旧有 $R( A )=R( B )$ ．

因此，若 $A \sim B$ ，则 $R( A )=R( B )$ ．

`例` 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & 6 & 0\end{array}\right)$ 的秩．

解：
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\
1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
2 & -2 & 1 & 6 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\
3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\
2 & -2 & 1 & 6 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\
0 & -2 & -1 & 8 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
 
所以 $A$ 的秩 $R( A )=3$ ．

> 矩阵秩的求法:拿到矩阵后，做初等行变换，化为阶梯形矩阵，最后数一下阶梯是几行，他的秩就是几。

## 矩阵秩的性质总结
1．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵。矩阵 $A$ 中任取 $r$ 行和 $r$ 列。元素按照原来次序排列构成的 $r$ 阶行列式。称为矩阵A的 $r$ 阶子式。矩阵 $A$ 共有 $C_m^r C_n^r $个$r$ 阶子式。若 $A$ 至少有一个$r$阶子式不为 0 。但所有的 $r+1$ 阶子式皆为 0 ，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A)=r$ 。
$A \rightarrow m \times n$ 矩阵 $\quad r(A) \leqslant m . \quad r(A) \leqslant n$.
即 $r(A) \leqslant \min \{m, n\}$ 。

①满阶矩阵。没 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。若 $|A| \neq 0 . \quad r(A)=n$ ．
②降阶矩阵．若 $(A)=0 . \quad r(A)<n$ ．
③设 $\alpha=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 则 $r(\alpha) \leqslant 1$

若 $\alpha=0 . \quad r(\alpha)=0$
若 $\alpha \neq 0 . \quad r(\alpha)=1$ ．

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 0 & 4
\end{array}\right) \x

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