最后更新: 2026-01-18 15:47 查看: 594 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵秩的性质

## 矩阵秩的基本性质

矩阵的**秩**是矩阵的核心属性之一，它描述了矩阵中行（或列）向量组的线性无关程度。以下是矩阵秩的核心性质，按**基础性质**、**运算相关性质**、**特殊矩阵的秩**分类整理，方便理解和记忆：

### 一、 基础性质
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩。
1.  **非负性**：$r(A) \ge 0$；当且仅当 $A$ 是**零矩阵**时，$r(A)=0$。
2.  **范围限制**：$r(A) \le \min\{m,n\}$。
    - 若 $r(A)=m$，称 $A$ 为**行满秩矩阵**；
    - 若 $r(A)=n$，称 $A$ 为**列满秩矩阵**；
    - 若 $m=n$ 且 $r(A)=n$，称 $A$ 为**满秩方阵**（可逆矩阵）。
3.  **转置不变性**：$r(A)=r(A^T)$。
    推导：矩阵的行秩等于列秩，转置后行和列互换，秩不变。
4.  **等价矩阵同秩**：若矩阵 $A$ 与 $B$ **等价**（存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $B=PAQ$），则 $r(A)=r(B)$。
    几何意义：初等变换不改变矩阵的秩（初等行/列变换相当于对向量组做线性组合，不改变线性无关性）。

### 二、 运算相关的性质
1.  **数乘性质**：设 $k$ 为非零常数，则 $r(kA)=r(A)$；若 $k=0$，则 $r(kA)=0$。
2.  **秩的不等式（加减运算）**
    - $r(A+B) \le r(A)+r(B)$；
    - $r(A-B) \le r(A)+r(B)$；
    - $|r(A)-r(B)| \le r(A+B)$。
3.  **秩的不等式（乘法运算）**
    - 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵，则
      $$r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}$$
    - **Sylvester 秩不等式**：
      $$r(AB) \ge r(A)+r(B)-n$$
      当 $AB=O$（零矩阵）时，可推出 $r(A)+r(B) \le n$。
4.  **分块矩阵的秩**
    - 设分块矩阵 $C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$，则 $r(C)=r(A)+r(B)$；
    - 设分块矩阵 $C=\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}$，则 $r(C) \ge r(A)+r(B)$。

### 三、 特殊矩阵的秩
1.  **可逆矩阵的秩**：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\iff r(A)=n$ $\iff |A| \neq 0$。
2.  **幂零矩阵的秩**：若 $A^k=O$（$k$ 为正整数），则 $r(A) \le \dfrac{n(k-1)}{k}$。
3.  **对称矩阵的秩**：对称矩阵 $A=A^T$ 的秩等于其非零特征值的个数。
4.  **正交矩阵的秩**：$n$ 阶正交矩阵 $A$ 满足 $A^TA=E$，因此 $r(A)=n$（满秩）。

### 四、 与线性方程组的关联
设线性方程组 $Ax=b$，$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\overline{A}=(A\mid b)$ 是增广矩阵：
1.  方程组无解 $\iff r(A) < r(\overline{A})$；
2.  方程组有唯一解 $\iff r(A)=r(\overline{A})=n$；
3.  方程组有无穷多解 $\iff r(A)=r(\overline{A}) < n$。

### 五、一些补充
1. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵．则 $r\left(A^*\right)= \begin{cases}n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \quad(n \geqslant 2) \\ 0, & r(A)<n-1\end{cases}$

2. 设 $A$ 为 $n$ 所非令矩阵．则 $r(A)=1$ 的充分必要杂件是存在非零何量 $\alpha$ ．$\beta$ ．使得 $A=\alpha \beta T$

##  秩应用的总结与提示

| 性质 | 公式/描述 | 关键点 |
| :--- | :--- | :--- |
| **基本界** | $0 \le r(A) \le \min(m,n)$ | 秩的范围 |
| **转置不变** | $r(A) = r(A^T)$ | 行秩=列秩 |
| **加法** | $r(A+B) \le r(A)+r(B)$ | 三角不等式 |
| **乘法** | $r(AC) \le \min(r(A),r(C))$ | 信息不增 |
| **可逆不变** | $r(PAQ) = r(A)$ | 初等变换保秩 |
| **方程组无解** | $r(A) < r([A\|\mathbf{b}])$ | 核心判据 |
| **秩-零化度** | $r(A) + \text{nullity}(A) = n$ | 结构基石 |

**记忆与使用技巧**：
*   遇到秩的问题，首先想到**初等行变换**化为阶梯形来求秩。
*   在分析线性方程组时，立即想到比较 $r(A)$ 和 $r([A\|\mathbf{b}])$ 以及它们与未知数个数 $n$ 的关系。
*   矩阵的秩本质上衡量了其列（或行）向量的**独立性**和**信息量**。秩越低，冗余越多。

## 例题

### 基础例题-求秩
计算矩阵秩最基本的方法是化为阶梯型矩阵。这类问题核心是学生要学会化阶梯型矩阵，详见 [阶梯型矩阵的化法](https://kb.kmath.cn/kbas

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