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向量组的秩与矩阵的秩的关系

## 向量组的秩与矩阵的秩的关系通俗解释

> **矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩**

> **矩阵的秩反应的是方程组有效的方程的个数，而向量组的秩，反应的是向量组成的空间维度。**

### 从方程理解1
如下一个方程组
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 +x_2= 0 \\
2x_2+2 x_2=0
\end{array}
\right.
$$
①写出他的系数矩阵，可以得到他的秩为1.
而如果我们从方程看，虽然这里有2个方程，但是第二个方程是第一个方程的2倍，所以，第二个方程是滥竽充数的。因此方程有效的个数是1.
因此，我们得到一个结论：矩阵的秩，本质上反映的是有效方程的个数。详见[矩阵的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1863)

②仍然以上面方程为例，写出向量为 $(1,2)$ 和$(1,2)$ ，虽然这里有2个向量，但是他们是共线的，因此是线性相关，这2个向量组成向量组的秩为1. 因此，对于向量组含有n个向量，如果秩等于1表示这n个向量共线；如果秩等于2，表示这n个向量组共面；如果秩等于3，表示这n个向量组共体，一次类推，详见 [向量组的等价](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=481)

### 从几何理解2
假设有一个矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 0 & 2 \\ 1 & -2\end{array}\right)$  他的列空间、行空间都是平面，因此列秩、行秩相等，都为 2

以列视角看，他有2个列向量，这2个向量张成了一个平面。
以行视角看，他有3个行向量，这3个行向量也张成了一个平面

![图片](/uploads/2025-09/533190.jpg){width=500px}

## 数学推导

> 定理  设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$的秩等于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩； $\boldsymbol{A}$ 的行向量组的秩也等于 $\boldsymbol{A}$ 的秩．

证明：我们分两步证明这个定理．
（1）先证明，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中有 $r$ 个线性无关的列向量．
设 $r(\boldsymbol{A})=r$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中必有一个 $r$ 阶子式 $D_r \neq 0$ ．设 $D_r$ 位于 $\boldsymbol{A}$的第 $j_1, j_2, \cdots, j_r$ 列，且

$$
j_1<j_2<\cdots<j_r .
$$

由 $\boldsymbol{A}$ 的这 $r$ 个列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$ 构成的矩阵记为 $\boldsymbol{A}_1$ ．显然， $r\left(\boldsymbol{A}_1\right)=r$ ．由定理“向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})<m$ ；向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})=m$ ”知 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$ 线性无关．
（2）再证明， $\boldsymbol{A}$ 中的任一列向量 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 都可由（1）中的 $r$ 个线性无关的列向量线性表示．

事实上，若 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$ 中的某个向量，则显然 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_j$ 线性表示；若 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 不在 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$ 中，不妨设 $j_1< j_2<\cdots<j_i<j<j_{i+1}<\cdots<j_r$ ，于是矩阵

$$
A_2=\left(\alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_i}, \alpha_j, \alpha_{j_{i+1}}, \cdots, \alpha_{j_r}\right)
$$

是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的子式，故 $r\left(\boldsymbol{A}_2\right) \leqslant r(\boldsymbol{A})=r<r+1$ ，仍由定理“向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})<m$ ；向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})=m$ ” 可知，$A_2$ 的列向量线性相关．所以 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$线性表示．

综合（1）（2）可知， $\boldsymbol{\alpha}_{j_1}, \boldsymbol{\alpha}_{j_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{j_r}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的一个极大无关组，所以

$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=r=r(\boldsymbol{A}) .
$$

由于 $r(\boldsymbol{A})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)$ ，而 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组的秩就是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的列向量组的秩，故也等于 $\boldsymbol{A}$ 的秩，所以

> $r(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}$ 的列向量组的秩 $=\boldsymbol{A}$ 的行向量组的秩．

证毕

**上述定理的证明过程给出了求向量组的秩及其找一个极大无关组的方法：向量组排成列做成矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，若 $r(\boldsymbol{A})=r$ ，则向量组的秩为 $r$ 。在 $\boldsymbol{A}$ 中只要找到一个 $r$ 阶子式不等于零，则这个 $r$ 阶子式所在的 $r$ 个列向量即为 $\boldsymbol{A}$ 中列向量组的一个极大无关组．而不等于零的 $r$ 阶子式可通过 $\boldsymbol{A}$ 的阶梯形看出．**

`例` 设有向量组

$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{r}
2 \\
-4 \\
2
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
3
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{r}
0 \\
-4 \\
-4
\end{array}\right),
$$

求该向量组的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用所求的极大无关组线性表示。

解：构造矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsym

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