最后更新: 2026-01-22 15:38 查看: 583 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量线性表示与组合的几何意义

## 向量线性表示与组合的几何意义
### 1．线性表示／组合的定义
先看图 4－1 中平面向量集合，这个集合有七个二维向量，用坐标表示出来就是 $\alpha_1=(2,1), \quad \alpha_2=(3,3), \quad \alpha_3=(1,2), \quad \alpha_4=(-1,1), \quad \alpha_5=(-2,2), \quad \alpha_6=(-3,-1), \quad \alpha_7=(2,-2)$仔细观察后发现：

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 向量 $\alpha_2$ 可以由两个向量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 相加得到，即 $\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$ ；
向量 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_5$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 得到，也可以由 $\boldsymbol{\alpha}_7$ 乘以 $-\frac{1}{2}$ 得到，即 $\boldsymbol{\alpha}_4=\frac{1}{2} \boldsymbol{\alpha}_5$ 或 $\boldsymbol{\alpha}_4=-\frac{1}{2} \boldsymbol{\alpha}_7$ ；向量 $\alpha_6$ 可以由 $\alpha_2$ 的数乘和 $\alpha_7$ 的数乘之和得到，即 $\alpha_6=-\frac{2}{3} \alpha_2-\frac{1}{2} \alpha_7$ ；
$\_\_\_\_$
上面的例子是说，一个向量可以由另外一个或几个向量（向量组）用数乘之和的形式表示出来，一般表达式就是 $\boldsymbol{\beta}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s$ ，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_s$ 是常数。这里称之为向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以由向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right\}$ 线性表示。或者讲，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的线性组合。

我们研究一下线性表示的表达式 $\boldsymbol{\beta}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s$ ，明显地：向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 数乘 $x_1$ ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_2$数乘 $x_2, \cdots$ ，然后把数乘后的向量相加起来就得到了一个新的向量 $\boldsymbol{\beta}$ 。反过来讲，一个向量 $\boldsymbol{\beta}$被分解为几个向量的倍数。所以我们得到一个结论：

> **线性组合或表示式的代数意义是向量数乘和加法的综合。**

在序言的向量介绍中，我们知道，数乘的几何解释就是在原向量的直线上向量长度的伸长或缩短；两向量相加的几何解释就是依照平行四边形法则对向量进行合并。因此向量的线性组合的几何意义就是对向量组内的向量长度进行缩放后依照平行四边形法则进行合并相加，如图 4－2 中的 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 合并成 $\boldsymbol{\alpha}_2$ ；线性表示的几何意义就是可以把一个向量依照平行四边形法则分解（或投影）为向量组上的和，如图4－2中的 $\alpha_6$ 分解为 $\alpha_2$ 与 $\alpha_7$ 上的分量。

![图片](/uploads/2026-01/ba2b2b.jpg)
 
 
 ### 2．向量被向量组所线性表示的几何意义
在图4－2中，我们已经知道：$\alpha_4$ 可以被向量组 $\left\{\alpha_5\right\}$ 线性表示，也可以被 $\left\{\alpha_7\right\}$ 线性表示；$\alpha_2$可以被向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_3\right\}$ 线性表示，$\alpha_6$ 可以被向量组 $\left\{\alpha_2, \alpha_7\right\}$ 线性表示。

下面我们只研究 $\alpha_4$ 的线性表示方法。
$\alpha_4$ 可以由多种向量组线性表示，只要这个向量组所确定的直线、平面或空间包含 $\alpha_4$ 。比如 $\alpha_4$ 可以被 $\left\{\alpha_5\right\},\left\{\alpha_5

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