最后更新: 2025-01-06 16:41 查看: 485 次反馈同步训练

线性空间及其子空间

### 向量空间
在[集合论与向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861) 里说过，向量就像一个个箭头，这些箭头组成了一个集合，成为向量空间。本节先给出向量空间以及子空间的定义，后面再来进一步解释其是什么意思。

## 线性空间/向量空间
设 $V$ 是一个非空集合， $\mathbf{R}$ 为实数域. 对于任意两个元素 $\alpha, \beta \in V$ ，在 $V$ 中总有唯一确定 的一个元素 $\gamma$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记作 $\gamma=\alpha+\beta$. 对于 $\mathbf{R}$ 中任一数 $\lambda$ 与 $V$ 中任 一元素 $\alpha$ ，在 $V$ 中总有唯一确定的一个元素 $\delta$ 与之对应， 称为 $\lambda$ 与 $\alpha$ 的数量乘积，记作 $\delta=\lambda \alpha$. 如果这两种运算满足以下八条运算规律 (设 $\alpha, \beta, \gamma \in V ; \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ):

![图片](/uploads/2024-10/9cef00.jpg)
 
那么， $V$ 就称为实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间.
线性空间有时也被称为向量空间， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为**线性运算**.

>除了线性空间还有什么空间？数学上还有很多空间，包括希尔伯特空间、线性赋范空间、内积空间、内积空间和欧几里得空间等，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1454)

**定义1** 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，如果对于任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V ， \boldsymbol{\beta} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V$ ， 则称 $V$ 对向量的加法封闭；
如果对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ 及任意 $k \in \mathbf{R}$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha} \in V$ ，则称 $V$ 对向量的数乘封闭.

`例` 集合 $V_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \right\rvert\, a_2, \cdots, a_n \in R \right\}, \quad$ 对任意 $\alpha =\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}0 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V$ ，任意 $k \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \in V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \in V,\\
\end{aligned}
$$
所以 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭.

`例` 集合 $ {V_2}=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) a_2, \cdots, a_n \in R \right\}$ ，对任意 $\alpha =\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V$ ，任意 $k \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c}
1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \notin V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c}
1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \notin V(k \neq 0),\\
\end{aligned}
$$
 所以 $V_2$  对向量的加法和数乘运算均不封闭.  
 
 
## 向量空间
设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，且 $V$ 非空，如果 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算都封闭， 则称集合 $v$ 为向量空间.
例如， 例 1、例 2 中的集合均为非空的， 因为 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_1, e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_2$.
但是 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭，所以 $V_1$ 是向量空间，
但是 $V_2$ 对向量的加法和数乘运算均不封闭，所以 $V_2$ 不是向量空间.

`例` $n$ 维向量的全体组成的集合 $\quad R ^n=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right) \right\rvert\, x_1, x_2, \cdots, x_n \in R \right\}$
对向量的加法和数乘运算均封闭，所以是一个向量空间.

`例`$n$ 元齐次线性方程组的解集 $S=\{x \mid A x=0\}$ 对向量的加法和数乘运算封闭，
所以是一个向量空间. 这个向量空间我们称为齐次线性方程组的**解空间**.
 
 
`例` 设$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbf{R}^n$ ，我们将向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 所有可能的线性组合 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$ 构成的集合记为 $\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left\{\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbf{R}\right\}$,
容易验证，   $\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)$ 是一个向量空间， 我们称之为由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 所**张成的向量空间**.

### 多项式是线性空间
`例`次数不超过 $n$ 的多项式的全体，记作 $P[x]_{n^{\prime}}$ 即

$$
P[x]_n=\left\{p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in R\right\},
$$

>可以发现，对于通常的多项式满足上面的加法与数乘运算，所以多项式的乘法构成线性空间.

这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 故只要验证 $P[x]_n$ 对运算封闭.

对 $P[x]_n$ 中任意两个多项式 $p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, q(x)=b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0$ ，及任意的实数 $\lambda$ ，有

$$
\begin{aligned}
& p(x)+q(x)=\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)+\left(b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0\right)=\left(a_n+b_n\right) x^n+\cdots+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right) \in P[x]_n, \\
& \lambda p(x)=\lambda\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)=\left(\lambda a_n\right) x^n+\cdots+\left(\lambda a_1\right) x+\left(\lambda a_0\right) \in P[x]_n
\end{aligned}
$$

所以 $P[x]_n$ 是一个线性空间.

`例` 设集合$C[a, b]=\{f(x) \mid f(x) \text { 为 }[a, b] \}$上的连续函数
是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间.
这是因为: 通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的
运算性质可知， $C[a, b]$ 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭.

>线性空间和线性函数还是有点区别的，比如 $f(x)=3x+2$, 令$x$分别取$x_1=1$与$x_2=2$，那么$f(1)=5$和$f(2)=8$,但是$f(3)=11$，即$f(1)+f(2) \ne f(3)$ , 这是因为函数$f(x)$未经过原点，如果$f(x)$去掉常说项$f(x)=3x$ 就会发现 $f(1)+f(2) = f(3)$

`例`设 $M_{m \times n}( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i \leq m ; 1 \leq j \leq n) \in R \right\}$
是实数域上的矩阵全体所成的集合. 显然 $M_{m \times n}( R )$ 是非空的， $M_{m \times n}( R )$ 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规律，并且 $M_{m \times n}( R )$ 对通常的矩阵加法和数乘运算封闭.

**特别地，当 $ m=n$ 时，$n$ 阶方阵的全体所成的集合** 
$$
\begin{aligned}
&M_n( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i, j \leq n) \in R \right\}  
\end{aligned}
$$
也是实数域上的线性空间.

`例`$n$ 次多项式的全体
$$
Q[x]_n=\left\{p=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \mathbf{R} \text {, 且 } a_n \neq 0\right\},
$$
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 这是因为
$0 p=0 x^n+\cdots+0 x+0 \notin Q[x]_n$, 即 $Q[x]_n$ 对运算不封闭.

`例` $n$ 个有序实数组成的数组的全体

$$
S^n=\left\{\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_1, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}} \mid x_1, x_1, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\}
$$

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

$$
\lambda \circ\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T=(0, \cdots, 0)^T \text { 不构成线性空间. }
$$

可以验证 $S^n$ 对运算封闭，但是 $1 \circ x=0$ ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 不是线性运算，所以不是线性空间.

`例`  正实数的全体，记作 $\mathbf{R}^{+}$，在其中定义加法及乘数运算为

$$
a \oplus b=a b\left(a, b \in \mathbf{R}^{+}\right), \lambda \circ a=a^\lambda\left(\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}\right),
$$

验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.

证明：
首先验证对定义的加法和数乘运算封闭.
对加法封闭: 对任意的 $a, b \in \mathbf{R}^{+}$，有 $a \oplus b=a b \in \mathbf{R}^{+}$;
对数乘封闭: 对任意的 $\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}$，有 $\lambda \circ a=a^\lambda \in \mathbf{R}^{+}$.

### 性质3

设 $V$ 是实数域 $R$ 上线性空间， $W$ 是 $V$ 的一个非空子集. 如果 $W$ 关于 $V$ 的加法和数乘运算也构成线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的一个子空间.
例如， $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：向量组的秩与矩阵的秩的关系

下一篇：线性空间的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)