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子空间与解空间

##  子空间与解空间

> 预备知识：阅读本文需要先了解 [向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861) ，本文主要使用AI生成。

在**线性代数**中，**子空间**是线性空间的一个核心衍生概念，而**解空间**是子空间的一个具体且重要的应用实例，二者的关系可以概括为：**解空间是一类满足特定条件的子空间**。

下面从几何意义和代数定义两个角度，把这两个概念讲透。

### 一、 子空间（Subspace）的定义与核心性质
#### 1.  代数定义
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的一个**线性空间**，若 $V$ 的一个非空子集 $W$ 满足以下两个**封闭性条件**，则称 $W$ 是 $V$ 的一个**子空间**：
1.  **加法封闭**：对任意 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in W$，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in W$；
2.  **数乘封闭**：对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in W$ 和任意 $k \in \mathbb{F}$，都有 $k\boldsymbol{\alpha} \in W$。

**补充性质**
- 子空间 $W$ 必然包含 $V$ 的**零向量**（令 $k=0$，则 $0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} \in W$）；
- 子空间本身也是一个线性空间，满足线性空间的8条公理。

#### 2.  几何意义（以 $\mathbb{R}^3$ 为例，直观理解）
$\mathbb{R}^3$ 是三维欧氏空间，代表我们生活的三维空间，它的子空间有且只有三类：
1.  **零子空间**：只包含零向量 $\{\boldsymbol{0}\}$，对应几何上的“原点”；
2.  **一维子空间**：过原点的一条直线，直线上所有向量构成的集合，满足加法和数乘封闭；
3.  **二维子空间**：过原点的一个平面，平面上所有向量构成的集合，同样满足封闭性。

> 关键：**不过原点的直线/平面都不是子空间**，因为它们不包含零向量，且加法/数乘会跳出这个集合。

### 二、 解空间（Solution Space）的定义与本质
解空间是针对**齐次线性方程组**定义的，它的本质是**齐次线性方程组所有解向量构成的子空间**。

#### 1.  代数定义
给定一个 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$，考虑**齐次线性方程组**
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$
其中 $\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\dots,x_n)^T$ 是 $n$ 维列向量。
该方程组的**所有解向量的集合** $S$ 称为这个方程组的**解空间**，记作
$$S = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}^n \mid \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\}$$

#### 2.  解空间是子空间的证明（核心逻辑）
要证明 $S$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间，只需验证封闭性：
1.  **加法封闭**：设 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2 \in S$，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0}$
    $$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1 + \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$
    因此 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 \in S$。
2.  **数乘封闭**：设 $\boldsymbol{x}_1 \in S$，$k \in \mathbb{F}$
    $$\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{x}_1) = k\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1 = k\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$
    因此 $k\boldsymbol{x}_1 \in S$。

#### 3.  解空间的核心概念：基础解系
- 解空间 $S$ 作为 $\mathbb{F}^n$ 的子空间，它的**维数**称为**零度**，记作 $\text{nullity}(\boldsymbol{A})$；
- 解空间的一个**基**称为齐次线性方程组的**基础解系**，设为 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\dots,\boldsymbol{\xi}_t$，则解空间中任意解向量都可以表示为
  $$\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \dots + k_t\boldsymbol{\xi}_t$$
  其中 $k_1,k_2,\dots,k_t \in \mathbb{F}$ 是任意常数。
- **维数公式**：对于 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$，有
  $$\text{rank}(\boldsymbol{A}) + \text{nullity}(\boldsymbol{A}) = n$$
  即 矩阵的秩 + 解空间的维数 = 未知数的个数。

#### 4.  几何意义（以 $\mathbb{R}^3$ 中的齐次方程组为例）
1.  若 $\boldsymbol{A}$ 是 $1 \times 3$ 非零矩阵，方程 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 代表**过原点的平面**，解空间是二维子空间；
2.  若 $\boldsymbol{A}$ 是 $2 \times 3$ 矩阵且秩为 $2$，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 代表**两个过原点平面的交线**，解空间是一维子空间；
3.  若 $\boldsymbol{A}$ 是 $3 \times 3$ 可逆矩阵，方程 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 只有零解，解空间是零子空间 $\{\boldsymbol{0}\}$。

### 三、 子空间与解空间的关键区别与联系
| 维度 | 子空间 | 解空间 |
| :--- | :--- | :--- |
| **范畴** | 线性空间的**通用子集概念**，适用于所有线性空间 | 针对**齐次线性方程组**的**特殊子空间**，是 $\mathbb{F}^n$ 的子集 |
| **存在性** | 线性空间可以有无数个子空间（如 $\mathbb{R}^3$ 的所有过原点直线/平面） | 一个齐次线性方程组**唯一对应一个解空间** |
| **核心性质** | 仅需满足加法和数乘封闭 | 不仅满足封闭性，还满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的约束 |

**核心联系**：
解空间 $\boldsymbol{\subseteq}$ 子空间 $\boldsymbol{\subseteq}$ 线性空间，即解空间是子空间的一个具体实例。

> 注意：**非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} (\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$ 的解集合不是子空间**，因为它不包含零向量，且不满足加法/数乘封闭。

**定义1** 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，如果对于任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V ， \boldsymbol{\beta} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V$ ， 则称 $V$ 对向量的加法封闭；
如果对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ 及任意 $k \in \mathbf{R}$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha} \in V$ ，则称 $V$ 对向量的数乘封闭.

`例` 集合 $V_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \right\rvert\, a_2, \cdots, a_n \in R \right\}, \quad$ 对任意 $\alpha =\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}0 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V$ ，任意 $k \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\alph

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