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向量空间的基、坐标、维数与同构

## 向量空间的基、维数与坐标

> 一句话就可以说明白：要测量向量空间里的一个点，需要有一把尺子，这个尺子就是坐标系，也就是“基”。基是由一个个向量组成，这些向量彼此独立，他们是撑起整个向量空间里最基本的骨架，这个点有一个值，就是坐标值。给一组**线性无关**的向量，向量的个数就是维数，记作 dim V，如果你物理比较好，你就把数学里的“基”理解为物理中的“参照物”

**基、维数及其坐标的定义**
**定义1** 在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个元素 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 满足
(i) $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关；
(ii) $v$ 中任一元素 $\alpha$ 总可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，
那么， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个**基**， $n$ 称为线性空间 $V$ 的**维数**，记作 $\operatorname{dim} V=n$ 。

只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 $0$
$n$ 维线性空间 $V$ 也记作 $V_n$.
对于 $n$ 维线性空间 $V_n$ ，如果已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 是由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 所生成的线
性空间，即对于任意一个向量$\boldsymbol{\alpha}$ 有

$$
V_n=\left\{\boldsymbol{\alpha}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in R\right\},
$$

我们称呼$(x_1,x_2,...x_n)$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 在这组基下的坐标值，简称坐标。

上面定义也比较清楚地显示出线性空间 $V_n$ 的构造.

`例`向量组 $e _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), e _2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, e _n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) \quad$ 就是 $R ^n$ 的一个基,

> 这里有一个结论：如果 $n$ 元齐次线性方程组 $A x =0$ 的系数矩阵的秩 $R(A)=r$ ，它的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ ，则 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是解空间 $S$ 的基，解空间 $S$ 的维数为 $\operatorname{dim}(S)=n-r=n-R( A )$.

### 向量空间
$L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)=\left\{ \alpha =k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in R \right\}$ 与向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 等价，
**因此向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的极大无关组就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的基，**
向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的维数.

### 命题1
如果 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一线性表示.
证明 由基的定义可知， $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示.
下面证明表示式是唯一的.
设存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 及 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_r$ ，
使得 $\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha}$. 以及 $\boldsymbol{\beta}=\mu_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mu_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\mu_r \boldsymbol{\alpha}_r$,
两式相减得 $\quad \mathbf{0}=\left(\lambda_1-\mu_1\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(\lambda_2-\mu_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\left(\lambda_r-\mu_r\right) \boldsymbol{\alpha}_r$.
由基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关可得 $\lambda_1=\mu_1, \lambda_2=\mu_2, \cdots, \lambda_r=\mu_r$,
因此向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一的线性表示.

### 坐标的定义
设 $\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 是向量空间 $V$ 的一个基，如果 $V$ 中任一向量 $\beta$ 可唯一线性表示为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha},
$$

则称常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 为向量 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 下的坐标.
取 $\mathbf{R}^n$ 的一个基为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ ，则 $\mathbf{R}^n$ 中任一向量

$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)
$$

在基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 下的坐标就是向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的 $n$ 个分量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$.

####  常见的维数计算场景
1.  **向量空间 $\mathbb{R}^n$**
    $\mathbb{R}^n$ 的标准基有 $n$ 个线性无关的向量，因此 $\dim \mathbb{R}^n = n$。
2.  **矩阵的维数**
    全体 $m\times n$ 矩阵构成的线性空间，维数是 $m\times n$。
    例如：$2\times 2$ 矩阵空间的基是 $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，共4个向量，维数为4。
3.  **子空间的维数**
    子空间的维数不超过原空间的维数。
    例如：$\mathbb{R}^3$ 中的一个平面是2维子空间，一条直线是1维子空间，原点是0维子空间。
4.  **向量组的秩与维数**
    向量组的**秩** = 该向量组张成的子空间的**维数**。
    例如：向量组 $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ 线性相关，秩为1，张成的子空间是1维直线。

#### 易混淆点
**维数 ≠ 向量的分量个数**：
  例如向量 $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ 有3个分量，但它可能属于1维子空间（比如所有 $k\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ 构成的直线）。

**同一个空间的不同基，向量个数相同**：
  维数是空间的固有属性，和基的选择无关。比如 $\mathbb{R}^2$ 中，$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ 也是一组基，个数依然是2。

**维数是线性无关的数**
例如下面虽然有4个向量，但是因为是线性相关的，所以维数是3. 虽然我们说 维数 ≠ 向量的分量个数 但是，就理解来说，通常我们会使用列向量，含有几个分量，就认为他是几维的，这样理解再不过于强调概念的情况下，反而容易理解。
$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\1 & 0 & 1 &3\\0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}
$$

--- 
`例` 命题：在线性空间 $F[x]_n$ 中($F[x]_n$ 的定义是次数小于 $n$ 的多项式全体)，令

$$
p_1(x)=1, p_2(x)=x, p_3(x)=x^2, \cdots, p_n(x)=x^{n-1}
$$

显然，$p_1(x), p_2(x), p_3(x), \cdots, p_n(x)$ 线性无关，

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