引论线性代数的意义

## 代数的意义

> 线性代数（Linear Algebra），包含了 **线性** 和 **代数** 两层意思。

“代数” 的英文是 Algebra, 源于阿拉伯语, 其本意是“结合在一起”。就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物 “结合在一起”, 也就是进行**抽象**。抽象的目的不是故弄玄虚, 而是为了解决问题的方便, 为了提高效率, 把许多看似不相关的问题化归为一类问题。
抽象实际上并不神秘和高深, 我们从小就学会了抽象:
蹒跚学步的时候, 爸妈是这样通过举例子教会孩子数的概念是如何抽象出来的:
这是 1 个苹果, 那是 1 个糖块, 还有 1 个皮球……慢慢地我们忽略了物质上的差别, 明白了 “ 1 ” 这个数量的含义, 并及时地应用上了: “妈妈我要 1 个冰激淋!”
幼儿园及小学时老师也是这样教会我们数的加法运算法则是如何抽象出来的:
2 个苹果加上 3 个苹果是 5 个苹果;
2 个糖块加上 3 个糖块是 5 个糖块;
......
2 加上 3 就等于 5 , 用符号表示就是 $2+3=5$ 。
这样我们进一步地忽略了相加物体的大小、长短及原料的差别, 只关心数量叠加的运算法则。
初中的时候, 老师又进一步地教会了我们数及运算法则的进一步抽象:

$$
\begin{aligned}
& (1+2)^2=1^2+2(1 \times 2)+2^2 ; \\
& (3+4)^2=3^2+2(3 \times 4)+4^2 ;
\end{aligned}
$$

......
用字母代替数值, 得到完全平方公式: $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 。
好了, 抽象又进了一步: 不关心具体数值的运算, 只关心它们的运算规律。到了这时候,我们开始学习一门叫代数的数学课, 代数代数就是用字母代替数进行运算。从某种意义上来说, 代数就是把算术推广到比具体的数更抽象的对象 (运算规则) 上面去。

> 题外话，“数学”这个名字并不是一开始就有的，在早期的教程，小学的数学被叫做“**算术**”，初中数学称作“**代数**”，后来才统一叫做**数学**。

抽象还可以进一步: 高中时开始知道, 公式 $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 中的字母不仅可以代表数, 还可以同时代表方向一一也就是可以代表向量; 并将其中的乘积 $a^2 、 a b$ 解释为向量[内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167), 公式仍然成立。
画出有向线段来表示公式中的向量 (见图 1-1): $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}$, 则 $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 。

![图片](/uploads/2025-10/f4fe9c.jpg){width=300px}

所以, 向量的完全平方公式 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2=\boldsymbol{a}^2+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2$ 的几何解释就是

$$
|O B|^2=|O A|^2+|A B|^2+2|O A||A B| \cos A^{\prime}
$$

这就是**余弦定理**, 当 $A'$ 是直角时就是**勾股定理**(所以，勾股定理可以看成余弦定理的特殊情况)。将数与向量混为一谈, 立刻从简单的完全平方公式得到勾股定理和余弦定理, 数学的抽象威力由此可见一斑啊!

另外, 抽象还可以沿着另一个途径进行下去。恒等式 $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 中的字母是可变的数, 因此是变量。固定一些变量为常量, 多项式和方程式便出现了。其中一元方程式就有线性方程、二次方程、三次方程......

$$
a x+b=0, a x^2+b x+c=0, a x^3+b x^2+c x+d=0, \cdots
$$

有了各种方程, 如何求解啊? 于是在数学天才们的努力下, 这些方程的根的表示渐渐地知道了:
$a x+b=0$ 的根是 $x=-\frac{b}{a}$;
$a x^2+b x+c=0$ 的根是 $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} ;$
呵, 这些解好完美, 数学真是无懈可击啊。那 $x^2+1=0$ 的根是什么?呃……
$n$ 百年后, 这个问题最终抽象出来虚数的概念 (呵, 把数都抽虚了)。
数学在持续完美中:
三元方程式的根被解出来了。
四元方程式的根也被解出来了。
那五元方程式的根如何表示啊? 如何像二次方程的根一样可以用系数表示出来的形式?这个问题厉害, 解决这个问题伽罗瓦更犀利, 他竟然把运算规律也进行了更抽象的分类, 一下子竟抽出了[群](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=213)的伟大概念!
 
## 线性的意义
在说线性，线性其实顾名思义是**均匀**的意思。比如你匀速跑步，如果你 1 秒跑 2 米，那么 3 秒就跑 6 米，你跑多远是是跟着时间均匀变化的。那么写成公式就是 $s =2 t$ 。

反过来看，时间 $t =1 / 2  s$ ，两者**一起**均匀变化。那么我们形容跑多远$s$和时间$t$的关系就叫**线性相关** ，其实就是均匀相关的意思。

把$s=2t$ 推广一下，$v=2 w$, $v$ 和 $w$ 都是向量，$v$ 的箭头长度是 $w$ 的两倍，他们也是互相线性相关。

![图片](/uploads/2026-01/df906a.jpg){width=200px}

当然，所谓关系一般是形容两个变量的。假如 $w$ 变长 3 倍，$v$ 也跟着变长 3 倍，显然 $3 v=2^*(3 w)$ ，这跟 $s=2 t$一样直观。

从另一个角度看，$w$变长$3$ 倍实际上变化量是 $2 w$ ，即 $3 w=w+2 w$ 。那么$v$的变化量也会从$v$变为$3v=v+2v$，实际变化量是 $2v$ 就是 $2 * 2 w$ 。这是显然的。这个角度的好处就是可以用来描述三个向量间的线性相关，比如 $v=2 w+3 u$ 。假设 $w$ 变成 $w+a, u$ 变成 $u+b$ ，那么$v$会变成 $v$什么呢 ？呢，很简单，$v$ 的变化量将直接分为两部分，$w$ 带来的和 $u$ 带来的，因为是线性相关，所以闭着眼睛都知道$v=2 a+3 b$ 。代入回去检验一下，$v+(2 a+3 b)=2( w + a )+3( u + b ) 。$

如果记得微积分就会记得，二元函数的全微分就是分别算 dx 方向和 dy 方向的最后加起来，同样， $v=2 w+3 u$ 实际上也是一回事，$v$ 的变化由 $w$ 和 $u$ 各自变化带来的。当然，如果不把 $v$ 看做 $w$ 和 $u$ 的因变量，让三个向量都平等也是可以的。我们看 $v=2 w+3 u$ ，所以 $w=1 / 2 v-3 / 2 u$

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