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序言线性代数用来干什么的

## 线性代数用来干什么的
线性代数用来干什么的,说起来很简单，就是解方程。有许多同学感觉，线性代数太难了，或者说太抽象了，这是因为，线性代数的学习方法和高等数学完全不一样，也就是说你学习线性代数首先你得换学习思想，它完全是一套全新的学习思想。
更直白点：（1）高等数学（微积分）是先学习一个知识点，然后通过大量做题就能学会。（2）线性代数则相反，必须理解他的概念，至于题目，反而并不是那么重要。比如矩阵初等变换，你会一个三阶行列式后，后面的四阶、五阶、六阶理论上你就都会了，相反，如果你三阶的你不理解其中的概念，你做再多的四阶、五阶、六阶初等变化都没用。

> **线性代数的本质是解方程，而且我们只研究一次方程和二次方程**

## 一次方程
在初中，我们就会解方程，例如
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x-y=1
\end{array}\right.
$$

这有啥好研究的？这是因为，这是只有2个未知量方程，但是现实生活中可能需要解成百上千个方程，例如预测天气预报，估算导弹飞行路程。

美国学者David C. Lay 在《线性代数及其应用》书就介绍一个小故事：1949 年夏末, 哈佛大学教授列昂惕夫研究美国经济时，他从美国劳动统计局获得了25 万多条信息. 列昂惕夫把美国经济分解为 500 个部门, 例如煤炭工业、汽车工业、交通系统，等等，对每个部门，他写出了一个描述该部门的产出如何分配给其他经济部门的线性方程.最后得到了一个包含 500 个未知数的 500 个方程的方程组,如何解这个方程？理论上是可以解出来的，但是当时确实无法解出来，由此促使数学家来研究解方程。

### 高斯消元法
在初中就介绍过高斯消元法，高斯消元法的想法很简单：逐渐消去（减少）未知数的个数。
例如解下面三元一次方程
$$
\left\{\begin{aligned}
x+2 y-z & =1 ...① \\
4 x+9 y-3 z & =8 ...②\\
-2 x-3 y+7 z & =10 ...③
\end{aligned}\right.
$$

> 提示：在消元时，我们脑子里一定要记住我们是要干什么的，先消去x，再消去y，就能得到z

**第一步：消去方程组中方程②、方程③中的变量$x$**

> **先保持第一行不变，利用第一行消去第二行、第三行的$x$, 而消去的方法也非常简单，第二、第三行$x$的系数是4与-2，我只要用第一行的$x$倍数的相反数加上去就能消掉第二、第三行的$x$**

方程$ ①\times(-4)+$ 方程②，方程②变为方程②’
$ y+z=4$ 。

方程$① \times 2+$ 方程③，方程③变为方程③
$y+5 z=12$ ，

此时原方程组变为

$$
\left\{\begin{aligned}
x+2 y-z & =1 ...①\\
y+z & =4 ...②'\\
y+5 z &  =12 ...③'
\end{aligned}\right.
$$

**第二步：消去方程③'中的变量$y$**

> **再看第二步消元，保持第二行不变，利用第二行消去第三行$y$,我们能够想象，假设是四元一次方程组，这第二步应该是利用第二行消去第三行、第四行的$y$,
消去的过程也和第一步类似，使用倍数的相反数加上去就能消去**

方程$ ②' \times(-1)+$ 方程③'，方程③'变为方程④'

$4 z=8$

此时方程组变为**阶梯状结构**：

$$
\left\{\begin{array}{r}
x+2 y-z=1, \\
y+z=4, \\
4 z=8 .
\end{array}\right.
$$

目标达到。
第三步：**从下往上，逐个求变量的值往回代入**，不难得到方程组的唯一解为 $(x, y, z)=(-1,2,2)$ ．

当然，如果我们不急于求解，再从下往上消去可以得到
$$
\left\{\begin{array}{r}
x+0 y+0z=-1, \\
y+0z=2, \\
   z=2 .
\end{array}\right.
$$

### 矩阵
在上面求解方程组的过程中，我们可以对变量$x,y,z$“视而不见”，也就是只有系数会影响结果，而变量的名是叫$x,y,z$还是$a,b,c$ 对解方程没有影响。
因此，如果提取方程的系数,作为一个数表，给他一个名字--**矩阵**。

$$
\left[\begin{array}{l}
&1 & 2 & -1 \\
&4 & 9 & -3 \\
&-2 & -3&  7 \\
\end{array}\right]
$$

如果连同等号右边的值，则叫做--**增广矩阵**。

$$
\left[\begin{array}{l}
&1 & 2 & -1 & 1 \\
&4 & 9 & -3 & 8 \\
&-2 & -3&  7 & 10 \\
\end{array}\right]
$$

当方程组化为阶梯状结构对应的矩阵称作-- **阶梯形矩阵(下面都是0)** , 阶梯形矩阵是重点内容，详见 [阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)
$$
\left[\begin{array}{l}
&1 & 2 & -1 & 1 \\
&0 & 1 & 1 & 4 \\
&0 & 0 & 4 & 8 \\
\end{array}\right]
$$
毫无疑问，阶梯形矩阵是非常好的，因为只要从下往上回代，就能立刻得到方程组的解。

如果继续把系数化为1，其它列系数为零，就是--**行简化阶梯形矩阵（行最简形矩阵）**

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{array}\right] ...(1)
$$

一个矩阵，左边是单位矩阵$E$，其余元素都是0的矩阵，称作--**标准形矩阵**
所以，上面矩阵（1）的标准形是

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right] ...(1)
$$

如果方程组有解，我们就称方程组是**相容**的。如果方程组无解则称呼方程组是**不相容**的。

这里再提2个概念，详见 [逆矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463)

每个方阵会对应一个行列式，矩阵$A$对应的行列式记做 $det A$, 如果 $det A=0$ 则矩阵称为**奇异矩阵**或**退化矩阵**， 如果 $det A \ne 0$ 则矩阵称为**非奇异矩阵**或**非退化矩阵**

### 典型的一次方阵
典型的一次方程形式如下:
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
\vdots \\
a_{i 1} x_1+\cdots+a_{i i} x_i+\cdots+a_{i n} x_n=b_i \\
\vdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n
\end{array}\right.
$$

在《线性代数》这门课里，为了研究解一次方程，引入了行列式，引入了矩阵，进而又引入了伴随矩阵，矩阵的秩，逆矩阵、引入了线性相关与线性无关等概念相关，最终目的都是为了解一次方程。

> 在 [附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234) 我们从上帝的视角，来一次性概括一次方程要解决的问题。

## 二次方程
为了研究二次方程（其实是二次多项式），引入了标准型，二次型分为标准二次型和不标准二次型，这两者的区别在哪，就是它们对应的矩阵不一样，这其中有一个问题就是我们要把非标准化成标准，这个时候本质上需要做一件事，就是把矩阵从不对角变成对角，这个时候你为了完成这个任务你就必须准备一套理论，这套理论就是**特征值与特征向量

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