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线性函数、多项式、群与环

## 线性函数的概念
在中学的初等数学里, 我们知道, 函数 $f(x)=k x+b$ ( $k, b$ 是不变量), 称为一元线性函数, 因为在平面直角坐标系中这个函数的图形是一条直线, 就是变量 (包括自变量和因变量) 之间的关系描述为一条直线, 所以把这种函数形象地称为 “线性” 函数 (见图 1-2); 如果 $b=0$, 这个函数的外观就变成 $f(x)=k x$ 的形式了, 这是一条过原点的直线, 即图中直线 $m$ 。显然, 过原点的直线是最简单的线性函数。

![图片](/uploads/2025-10/d149da.jpg){width=380px}

严格说来,**只有过原点的最简单的直线 $f(x)=k x$ 才被称为一元线性函数**。

什么? 难道 $f(x)=k x+b$ 不是线性函数吗? **是线性的, 但不是《线性代数》里所指的线性含义**。

所谓 “线性” 的代数意义是什么呢? 实际上, 最基本的意义只有两条: 可加性和比例性。

(1) **可加性**: 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有

$$
f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)
$$

> **一句话: 和的函数等于函数的和。物理意义是说因变量叠加后的作用结果等于各个因变量独自作用结果的叠加。**

(2) **比例性**: 也叫做齐次性、数乘性或均匀性或缩放性, 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有

$$
f(k x)=k f(x) 
$$

> **一句话: 比例的函数等于函数的比例。物理意义是说因变量缩放, 因变量的作用结果也同等比例地缩放。**

可加性与比例性组合在一块就是 “线性” 的全部意义了, 即有

$$
\boxed{
f\left(k_1 x_1+k_2 x_2\right)=k_1 f\left(x_1\right)+k_2 f\left(x_2\right) 
}
$$

> **一句话: 线性组合的函数, 等于函数的线性组合。这里面既有缩放又有叠加的物理含义。**

回过头来在说一下为什么说$f(x)=kx+b$不是线性的，
比如取$f(x)=2x+4$, 简单算一下，
$f(1)=6$
$f(2)=8$
$f(3)=10$，

发现$f(1)+f(2) \ne f(3)$，
所以$f(x)=2x+4$不算是线性代数里的线性。

但是，如果把他稍微修改一下（或者说图形平移一下）修改为$g(x)=2x$就是线性的，

$g(x)=2x$ 满足

$g(1)+g(2)=g(3)$
$3g(x)=g(3x)$

进一步比较发现，$f(x)$和$g(x)$的区别**后者通过的原点**。

> **到这里我们得到第一个重要结论：线性空间需要通过原点。**

## 线性空间
上面说了，如果一个函数满足可加性和比例性，我们就称呼他为“线性”的。这是2个最主要的性质。

我们抽象一下，在一个集合$V$里，定义了2个运算：加法与数乘，如果这2个运算的结果仍在$V$中且满足下面列出的八条运算法则，那么就称一个$V$的一个**线性空间**。

（1）加法交换律： $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ ；
（2）加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$ ；
（3）存在零元素0：
（3）存在单位元1： 即$k_1 \alpha = \alpha$ ；
（5）存在负元素存在： 即 $\alpha + \beta = 0$ ，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的负元素 
（6）数乘结合律：$k(l \alpha )=(k l) \alpha$ ； 
（7）分配律：$(k+l) \alpha =k \alpha +l \alpha$ ；
（8）分配律：$k( \alpha + \beta )=k \alpha +k \beta$ ；

### 向量运算是线性的
在高中学过向量的加法和数乘，不难证明向量支持上面八条性质。
$$
\vec{a}+\vec{b}=\vec{b} + \vec{a} \\
$$

$$
\vec(ka)=k \vec{a} \\
$$

所以，向量运算是线性的。

### 多项式是线性的

上面列出了线性空间的八条规则，换句话说，如果一个函数满足这八条规则，我们就称呼他是线性的，因为多项式满足这八条规则，所以，多项式也是线性的。
$\mathbf{F}[x]_{n+1}=\left\{a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n \mid a_i \in \mathbf{F}\right\}$ 关于多项式的加法和数乘构成线性空间，具体展开而言便是

$$
\left(p_1+p_2\right)(x)=p_1(x)+p_2(x), \quad(\lambda p)(x)=\lambda p(x), \quad \forall p_1, p_2, p \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, \quad \forall \lambda \in \mathbf{F} .
$$

这也能解释常见记号的含义：$\left(k_1 p_1+k_2 p_2\right)(x)=k_1 p_1(x)+k_2 p_2(x)$ ．
 
**我们对八条性质进行逐条验证即可．**
1．$\forall p_1(x), p_2(x), p_3(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}=\left\{a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n \mid a_i \in \mathbf{F}\right\}$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \left(p_1(x)+p_2(x)\right)+p_3(x) \\
= & \left(\left(a_{10}+a_{11} x+\cdots+a_{1 n} x^n\right)+\left(a_{20}+a_{21} x+\cdots+a_{2 n} x^n\right)\right) +  \left(a_{30}+a_{31} x+\cdots+a_{3 n} x^n\right) \\
= & \left(\left(a_{10}+a_{20}\right)+\left(a_{11}+a_{21}\right) x+\cdots+\left(a_{1 n}+a_{2 n}\right) x^n\right)  + \left(a_{30}+a_{31} x+\cdots+a_{3 n} x^n\right) \\
= & \left(\left(\left(a_{10}+a_{20}\right)+a_{30}\r

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