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线性代数
引言 线性代数的意义
线性函数与线性空间
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2025-03-12 09:16
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线性函数与线性空间
线性空间;近世代数;范数;完备性
## 线性函数的概念 在中学的初等数学里, 我们知道, 函数 $f(x)=k x+b$ ( $k, b$ 是不变量), 称为一元线性函数, 因为在平面直角坐标系中这个函数的图形是一条直线, 就是变量 (包括自变量和因变量) 之间的关系描述为一条直线, 所以把这种函数形象地称为 “线性” 函数 (见图 1-2); 如果 $b=0$, 这个函数的外观就变成 $f(x)=k x$ 的形式了, 这是一条过原点的直线, 即图中直线 $m$ 。显然, 过原点的直线是最简单的线性函数。 {width=380px} 严格说来, 只有过原点的最简单的直线 $f(x)=k x$ 才被称为一元线性函数。什么? 难道 $f(x)=k x+b$ 不是线性函数吗? **是线性的, 但不是线性代数里所指的线性含义**。 所谓 “线性” 的代数意义是什么呢? 实际上, 最基本的意义只有两条: 可加性和比例性。 (1) **可加性**: 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有 $$ f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right) $$ 一句话: 和的函数等于函数的和。物理意义是说因变量叠加后的作用结果等于各个因变量独自作用结果的叠加。 (2) **比例性**: 也叫做齐次性、数乘性或均匀性或缩放性, 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有 $$ f(k x)=k f(x) $$ 一句话: 比例的函数等于函数的比例。物理意义是说因变量缩放, 因变量的作用结果也同等比例地缩放。 可加性与比例性组合在一块就是 “线性” 的全部意义了, 即有 $$ f\left(k_1 x_1+k_2 x_2\right)=k_1 f\left(x_1\right)+k_2 f\left(x_2\right) $$ 一句话: 线性组合的函数, 等于函数的线性组合。这里面既有缩放又有叠加的物理含义。 回过头来在说一下为什么说$f(x)=kx+b$不是线性的，比如取$f(x)=2x+4$, 可以算出$f(1)=6$,$f(2)=8$,$f(3)=10$，发现$f(1)+f(2) \ne f(3)$，所以$f(x
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