最后更新: 2025-01-04 05:58 查看: 246 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

矩阵的秩

> 对于初学线性代数的人，遇到的第一个抽象的概念就是：矩阵的秩，矩阵的秩太重要了，后面很多结论都需要用它，本文介绍矩阵的秩的定义和意义。在阅读本节内容前，需要先了解[阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860) ，要从向量空间理解矩阵的秩，请点击[矩阵的秩(向量版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=482)

## 矩阵的秩的引入
本文谈谈矩阵秩的概念，先看一个例题：解下列线性方程组的解，

$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&2 x_1-4 x_2+x_3 &  =5 \\
&x_1-2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =4
\end{aligned}
\right.
$$

我们按高斯消元法，首先列出增广矩阵：

$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
2 & -4 & 1 & 0 & 5 \\
1 & -2 & 2 & -3 & 4
\end{array}\right]
$$

现在把他化为阶梯形矩阵。
(i) 用第一行的-2倍加到第二行
(ii)用第一行的-1倍加到第三行
$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 3 & -6 & 3
\end{array}\right]
$$

继续化简，
(i)用第二行的-1倍加到第三行
(ii)第二行乘以$\frac{1}{3}$
得到如下阶梯形矩阵

![图片](/uploads/2025-01/9fa926.jpg){width=300px}
 
 如果我们把上面矩阵系数再还原成方程，则是：
 
 
$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+x_3 -2x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4 & =0
\end{aligned}
\right.
$$

仔细观察上面第三个方程，可以发现，不论$x$取什么值，这个式子都是成立的，换句话说，表面上看这个方程有3个方程，但是其实真正有效的只有2个方程，第三个方程是“滥竽充数”的。我们把这个“2”就叫做矩阵的秩。
在观察一下阶梯形矩阵，他的阶数也正好是2.

因此，如何求矩阵的秩？我们要牢记下面一个结论：

> 给你一个矩阵，把他化为阶梯形，数一下阶梯的行数，有几行矩阵的值就是几。

从这里，还可以得到一个结论：**矩阵的秩的本质就是：给你一个方程组，其中有效的方程的个数。**

## 矩阵秩的定义
在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列 $(k \leq m, k \leq n)$ ，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元 素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。
$m \times n$ 矩阵 $A$ 中的 $k$ 阶子式共有 $C_m^k \cdot C_n^k$ 个.
设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D_1$ 且所有 $r+1$ 阶子式 (如果存在的话)全等于 0 ，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$
并规定：
零矩阵的秩等于 0.
由行列式按行（列）展开的性质可知，若 $A$ 的所有 $r+1$ 阶子式全等于零，则所有高于 $r+1$ 阶的子式也全为 0 ，因此， $r$ 阶非零子式 $D$ 被称为最高阶非零子式， 而矩阵 $A$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})$ 就是非零子式的最高阶数. 由此可得，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中有某个 $k$ 阶子式不为 0 ，则 $R(\boldsymbol{A}) \geq k$ 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中所有 $k$ 阶子式全为 0 ，则 $R(\boldsymbol{A})<k$.
对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 因为 $A$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|\boldsymbol{A}|$ ， 所以，当 $|A| \neq 0$ 时， $R(A)=n$ ， 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时， $R(\boldsymbol{A})<n$ 从而可逆矩阵的秩等于它的阶数，而不可逆矩阵的秩小于它 的阶数.
因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵.

> 矩阵的秩的定义又啰嗦又复杂，在实际运算中，我们几乎不用他的定义。

## 方程的解
上面得到了如下这个阶梯形矩阵，我们继续化简
$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

我们通过把第二行加到第一行来把它化简（只能从下往上运算）：
 ![图片](/uploads/2025-01/122e51.jpg){width=300px}
这样就化为“[行最简形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)”

相应的简化方程组为

$$
\left\{
\begin{aligned}
&x_1 -2 x_2  & +x_4 & =2 \\
& & x_3-2 x_4 & =1 \\
& &   0 & =0
\end{aligned}
\right.
$$

首非零元为 1 在第 1 列和第 3 列，所以对应的变量 $x_1$ 和 $x_3$ 被称为**首变量**（主要的变量），因为矩阵是行最简阶梯形，所以这些方程可以用系数非1变量 $x_2$ 和 $x_4$ 来解首变量，即把 $x_2, ~ x_4$ 看成**自由变量**。更准确地说，在这个例子中，我们设 $x_2= C_1$ 和 $x_4= C_2$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意的，所以这些方程变成

$$
\left\{
\begin{array}{r}
x_1-2 C_1+C_2=2 \\
x_3-2 C_2=1
\end{array}
\right.
$$

最后方程组的解用参数,用 $C_1,C_2$ 表示

$$
\left\{
\begin{aligned}
& x_1=2+2 C_1-C_2 \\
& x_2=C_1 \\
& x_3=1+2 C_2 \\
& x_4=C_2
\end{aligned}
\right.
$$

由于 $C_1, C_2$ 是任意数，所以这个方程组有无穷解

`例` 求矩阵A的秩
$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -5 & 8
\end{array}\right]
$$

解：将矩阵A化为行的阶梯矩阵有，

$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -5 & 8
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -1 & 4 \\
0 & -1 & 5 & -8 \\
0 & 1 & -5 & 8
\end{array}\right]
$$

得
$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -1 & 4 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

因为阶梯一共2层，所以$R(A)=2$

> 要从向量空间了解矩阵秩的意义，请点击后续课程[矩阵的秩意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=482)

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