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矩阵的秩的意义 ★★★★★

> 对于初学线性代数的人，遇到的第一个抽象的概念就是：矩阵的秩，矩阵的秩太重要了，后面很多结论都需要用它，本文介绍矩阵的秩的定义和意义。在阅读本节内容前，需要先了解[阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860) ，要从向量空间理解矩阵的秩，请点击[矩阵的秩(向量版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=482)

## 一、从方程组的角度看矩阵秩的意义
本文谈谈矩阵秩的概念，先看一个例题：解下列线性方程组的解，

$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&2 x_1-4 x_2+x_3 &  =5 \\
&x_1-2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =4
\end{aligned}
\right.
$$

我们按高斯消元法，首先列出增广矩阵：

$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
2 & -4 & 1 & 0 & 5 \\
1 & -2 & 2 & -3 & 4
\end{array}\right]
$$

现在把他化为阶梯形矩阵。
(i) 用第一行的-2倍加到第二行
(ii)用第一行的-1倍加到第三行
$$
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 3 & -6 & 3
\end{array}\right]
$$

继续化简，
(i)用第二行的-1倍加到第三行
(ii)第二行乘以$\frac{1}{3}$
得到如下阶梯形矩阵

![图片](/uploads/2025-01/9fa926.jpg){width=300px}
 
 如果我们把上面矩阵系数再还原成方程，则是：
 
 
$$
\left\{\begin{aligned}
&x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+x_3 -2x_4 & =1 \\
&0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4 & =0
\end{aligned}
\right.
$$

仔细观察上面第三个方程，可以发现，不论$x$取什么值，这个式子都是成立的，换句话说，表面上看这个方程有3个方程，但是其实真正有效的只有2个方程，第三个方程是“滥竽充数”的。我们把这个“2”就叫做矩阵的秩。

因此，从方程组的角度看矩阵的秩，可以得到下面这个结论：

> **矩阵的秩的本质就是：给你一个方程组，其中有效的方程的个数。**

如果再仔细观察一下阶梯形矩阵，他的阶数也正好是2.
由此得到下面常用的判断定理：

> **给你一个矩阵，把他化为阶梯形，阶梯型矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩**

在一个方程组里，矩阵的秩代表套在猴子身上的绳索条数。矩阵的秩越大，表示套在猴子身上的绳索就越多，猴子的灵活性就越小。
因此，每增加一个方程，都会让猴子自由度减少1(或者0)，那么矩阵的秩就会增加1（或者0）

![图片](/uploads/2025-08/e0c8e7.jpg)

## 二、从向量的角度看矩阵秩的意义

**情况1** 假设我们有一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $A$

$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

把他的每一列当成一个向量，

它的列向量是：
$$
{a

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