最后更新: 2026-01-18 19:11 查看: 589 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分块矩阵

## 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵 $A$ ，运算时常用一些横线和坚线将矩阵 $A$ 分划成若干个小 矩阵，每一个小矩阵称为 $A$ 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为**分块矩阵.**
一个矩阵的分块方式会有很多种， 例如，

$$
A=\left(\begin{array}{cc:ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
\hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
 a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45}
\end{array}\right)
$$

记

$$
A_{11}=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), \quad A_{12}=\left(\begin{array}{lll}
a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{23} & a_{24} & a_{25}
\end{array}\right), \quad A_{21}=\left(\begin{array}{ll}
a_{31} & a_{32} \\
a_{41} & a_{42}
\end{array}\right), \quad A_{22}=\left(\begin{array}{lll}
a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{43} & a_{44} & a_{45}
\end{array}\right) .
$$

则
$$
A=\left(\begin{array}{cc:cc:c}
A_{11} & A_{12} \\
 A_{21} & A_{22} \\
\end{array}\right)
$$
 
如果分块矩阵没有相应的运算，则 "分块矩阵" 这个概念是没有意义的。与矩阵的运算相对应，我们考虑分块矩阵的运算：加法、数乘、乘法、转置。当然基本要求是："分块前的运算结果与分块后的计算结果应该是一样的 ",

以矩阵加法为例, 设有矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$,其分块后分别记为 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{B}_1$, 则 $\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1$ 应该为 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 某个分块下的结果。另外我们希望：

分块矩阵的运算法则最好与通常矩阵的对应运算有类似法则。例如, 矩阵加法 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 定义为这两个矩阵的对应元素相加，因而对于分块矩阵相加，我们希望其运算法则为对应的子矩阵相加；矩阵乘法 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 中， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的一个元素为 $\boldsymbol{A}$ 的一行元素与 $\boldsymbol{B}$ 的一列元素对应相乘、相加，因而分块矩阵乘法 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，我们希望其运算法则为 $\boldsymbol{A}$ 的一行子矩阵与 $\boldsymbol{B}$ 的一列子矩阵相乘、相加；其它运算可类似地考虑。但目前需要指出的是：这只是我们的 "希望"，这种想法是否可行，需要考虑以下两个问题：
（1）如何对矩阵分块，才能使得这样的运算规律形式上能够进行？
（2）当第一步可行时，这样的运算规律是否成立？即分块矩阵的运算结果是否等于未分块矩阵的运算结果?

#### 分块矩阵的加法
若 $A$ 和 $B$ 是同型矩阵，且采用**相同的分块方式**，则：
$$
A + B = \begin{pmatrix}
A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\
A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22}
\end{pmatrix}
$$

#### 分块矩阵的数乘

数乘：$kA = \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} \\ kA_{21} & kA_{22} \end{pmatrix}$

**关键**：分块方式必须一致。

##  分块矩阵的乘法

分块矩阵的乘法与普通矩阵的乘法在形式上类似，只是在处理块与块之间的乘法时必须保证符合矩阵相乘的条件。因此，对分块的情况要特别予以注意．设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{A}_{i j}\right)_{r \times s}, \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{B}_{i j}\right)_{s \times t}$ 是两个分块矩阵（注意： $\boldsymbol{A}$ 的列分成 $s$ 块而 $\boldsymbol{B}$ 的行也分成 $s$ 块）．又设

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1 s} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{r 1} & \boldsymbol{A}_{r 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r s}
\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1 t} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{B}_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{B}_{s 1} & \boldsymbol{B}_{s 2} & \cdots & \boldsymbol{B}_{s t}
\end{array}\right) .
$$

上述分块矩阵适合如下条件：在 $\boldsymbol{A}$ 中，第 $(1,1)$ 块 $\boldsymbol{A}_{11}$ 的行数为 $m_1$ ，列数为 $n_1$ ，第 $(1,2)$ 块 $\boldsymbol{A}_{12}$ 的行数为 $m_1$ ，列数为 $n_2, \cdots$ ，第 $(i, j)$ 块 $\boldsymbol{A}_{i j}$ 的行数为 $m_i$ ，列数为 $n_j$ ． $\boldsymbol{B}$ 中第 $(i, j)$ 块 $\boldsymbol{B}_{i j}$ 的行数为 $n_i$ ，列数为 $l_j$ ．这样的分块方式保证了分块相乘有意义．若记分块矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的积为

相乘有意义．若记分块矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的积为

$$
C=\left(\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1 t} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
C_{r 1} & C_{r 2} & \cdots & C_{r t}
\end{array}\right),
$$

则 $\boldsymbol{C}_{i j}$ 是一个 $m_i \times l_j$ 矩阵，且

$$
C_{i j}=A_{i 1} B_{1 j}+A_{i 2} B_{2 j}+\cdots+A_{i s} B_{s j} .
$$

> 矩阵分块主要记住核心亮点：（1）尽可能把矩阵为0的元素放在一块。（2）分块矩阵的结果尽可能是对角形矩阵。

`例`设有矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 4 & 1 \\
-1 & -1 & 2 & 0
\end{array}\right]
$$

计算 $\boldsymbol{A B}$ 。
解：直接用矩阵乘法的定义计算，需要 64 次乘法、 48 次加法。如果我们将这两个矩阵作如下分块：

$$
A=\left[\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\hdashline-1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
E & O \\
A_1 & E
\end{array}\right] \quad A_1=\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
\hdashline 1 & 0 & 4 & 1 \\
-1 & -1 & 2 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B_{11}} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right]
$$

$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B}_{11}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}_{21}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & -1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}_{22}=\left[\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right]\\
&\text { 根据分块矩阵乘法的运算规则, 有 }\\
&\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E} \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{O} \boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}+\boldsymbol{O} \boldsymbol{B}_{22} \\
\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{I} \boldsymbol{B}_{21}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_{21}
\end{array}\right]
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

从上式可知, 只需要做两个二阶方阵的乘法。因此根据上式计算 $\boldsymbol{A B}$, 只需要做四次乘法、 6 次加法, 比直接计算 $\boldsymbol{A B}$ 所需要的运算量大大减少。

`例` 
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc:c:cc}
1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\
\hdashline 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -2 & 0 & 1
\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc:c}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
\hdashline-1 & 1 & 3 \\
\hdashline 0 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right),
$$

求 $A B$ ．

解 将 $ \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} $ 写成下列分块形状

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \boldsymbol{A}_{13} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \boldsymbol{A}_{23}
\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22} \\
\boldsymbol{B}_{31} & \boldsymbol{B}_{32}
\end{array}\right),
$$

其中 $\boldsymbol{A}_{i j}, \boldsymbol{B}_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 中相应的块．容易看出这两个分块矩阵符合相乘的条件．设 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 也是分

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：矩阵秩的性质

下一篇：分块矩阵的逆与分块矩阵的转置

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)