最后更新: 2026-01-18 19:42 查看: 467 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分块矩阵的逆与分块矩阵的转置

## 分块矩阵的逆

将一个高阶矩阵通过分块，化为我们熟悉的形式（特别是三角矩阵或对角矩阵），然后利用已知的简单分块矩阵求逆公式来得到原矩阵的逆。
 
 
`例` 已知分块矩阵$M$
$$
M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
$$
计算他的逆矩阵。

**解：操作步骤**：
1.  构造增广矩阵：$\left( \begin{array}{c|c} A & B & I & 0 \\ C & D & 0 & I \end{array} \right)$
2.  对行块进行操作，模仿高斯消元法。
    - 第一步，用 $A^{-1}$ 左乘第一行块，使 $(1,1)$ 位置变成单位矩阵 $I$：
      $R_1 \leftarrow A^{-1} R_1$
      得到：$\left( \begin{array}{c|c} I & A^{-1}B & A^{-1} & 0 \\ C & D & 0 & I \end{array} \right)$
    - 第二步，用 $-C$ 左乘新的第一行块加到第二行块，消去 $(2,1)$ 位置的 $C$：
      $R_2 \leftarrow R_2 - C R_1$
      得到：$\left( \begin{array}{c|c} I & A^{-1}B & A^{-1} & 0 \\ 0 & D - CA^{-1}B & -CA^{-1} & I \end{array} \right)$
    - 第三步，令 $S = D - CA^{-1}B$（Schur补）。假设 $S$ 可逆，用 $S^{-1}$ 左乘第二行块：
      $R_2 \leftarrow S^{-1} R_2$
      得到：$\left( \begin{array}{c|c} I & A^{-1}B & A^{-1} & 0 \\ 0 & I & -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{array} \right)$
    - 第四步，用 $-A^{-1}B$ 左乘第二行块加到第一行块，消去 $(1,2)$ 位置的 $A^{-1}B$：
      $R_1 \leftarrow R_1 - (A^{-1}B) R_2$
      得到：$\left( \begin{array}{c|c} I & 0 & A^{-1} + A^{-1}B S^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B S^{-1} \\ 0 & I & -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{array} \right)$

现在左边变成了单位矩阵分块，右边正是我们之前提到的复杂公式：
$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
A^{-1} + A^{-1}B S^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B S^{-1} \\
-S^{-1}CA^{-1} & S^{-1}
\end{pmatrix}, \quad S = D - CA^{-1}B
$$

**考试提示**：这个方法展示了公式的来源，但在考试中，如果题目没有明确要求推导，请优先使用简单的分块对角或三角公式！

---

### 总结与必背公式

由$M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ 可以得到逆矩阵为

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
A^{-1} + A^{-1}B S^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B S^{-1} \\
-S^{-1}CA^{-1} & S^{-1}
\end{p

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