最后更新: 2025-04-01 10:09 查看: 15 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

分块矩阵的逆与转置

## 分块矩阵的逆
（1）$A$ 为准对角阵，即 $A=\left(\begin{array}{llll}A_{11} & & & \\ & A_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s s}\end{array}\right)_{s \times s} \in M_n$且 $A_{i j}(i=1,2, \cdots s)$ 均为可逆方阵．则

$$
A^{-1}=\left(\begin{array}{llll}
A_{11}^{-1} & & & \\
& A_{22}^{-1} & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_s^{-1}
\end{array}\right)
$$

（2）$A$ 为三角块矩阵．如 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ 0 & C\end{array}\right) \in M_{m+n, m+n}$ ，其中 $B \in M_m, C \in$ $M_n$ ，且 $B, C$ 可逆．则

$$
A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
B^{-1} & -B^{-1} D C^{-1} \\
0 & C^{-1}
\end{array}\right)
$$

如果 $A=\left(\begin{array}{ll}B & 0 \\ D & C\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}B^{-1} & 0 \\ -C^{-1} D B^{-1} & C^{-1}\end{array}\right)$ ．

上面结论可以简单记忆为

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{ll} 
B & O \\
D & C
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 
B ^{-1} & O \\
- C ^{-1} D B ^{-1} & C ^{-1}
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 
B & D \\
O & C
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 
B ^{-1} & - B ^{-1} D C ^{-1} \\
O & C ^{-1}
\end{array}\right],} \\
& {\left[\begin{array}{ll} 
O & B \\
C & D
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
- C ^{-1} D B ^ { - 1 } & C ^{-1} \\
B ^{-1} & O
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 
D & B \\
C & O
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 
O & C ^{-1} \\
B ^{-1} & - B ^{-1} D C ^{-1}
\end{array}\right]}
\end{aligned}
$$

### 分块矩阵记忆
下面三个公式，可以类别矩阵乘法进行记忆

$$
\left[\begin{array}{cc} 
E _r & O \\
- C A ^{-1} & E _{n-r}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 
A & B \\
C & D
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 
A & B \\
O & D - C A ^{-1} B
\end{array}\right]
$$

上面这个公式怎么记忆呢？ 将第二个分块拒阵的第一行的 $- C A ^{-1}$ 倍 加至第二行，使 $C$ 处为 $O$ ．

**舒尔公式**

![图片](/uploads/2025-04/07e90e.jpg)

## 分块矩阵的转置
$$
\left[\begin{array}{ll} 
A & B \\
C & D
\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{ll} 
A ^{T} & C ^{T} \\
B ^{T} & D ^{T}
\end{array}\right]
$$

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