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全概率公式★★★★★

## 全概率公式引入的意义
全概率公式的精髓是：**当一个复杂事件的结果可能由多种不同的“原因”或“途径”导致时，我们可以先把这些可能的“原因”或“途径”都找出来，然后分别计算在每个“原因”下该事件发生的概率，最后把这些概率加起来。**

简单来说就是：**“条条大路通罗马”，我们要算的是到达“罗马”的总概率，那就把每一条路能走到罗马的概率都算出来，然后加在一起。**

### 需求的提出

> 假设有两个工厂（A1 和 A2）为我们生产同一种灯泡。
 工厂A1：负责供应我们总需求量的 **60%**。它的次品率是 **1%**（即良品率是99%）。
工厂A2 ：负责供应我们总需求量的 **40%**。它的次品率是 **3%**（即良品率是97%）。

**问题：现在我从总仓库里随机拿一个灯泡，请问这个灯泡是次品的概率是多少？**

因为两个工厂的质量不同。所以，我们要分情况讨论。

**计算步骤（这就是全概率公式的应用）：**

1.  **计算第一种途径（来自A1）导致拿到次品的概率：**
    *   第一步：拿到一个灯泡，它恰好是A1生产的概率是多少？ → **P(A1) = 60% = 0.6**
    *   第二步：如果这个灯泡来自A1，它是次品的概率是多少？ → **P(次品 | A1) = 1% = 0.01** （这个“|”表示“在...条件下”）
    *   所以，“灯泡既来自A1又是次品”这个联合事件的概率是：
        `P(A1) × P(次品 | A1) = 0.6 × 0.01 = 0.006`

2.  **计算第二种途径（来自A2）导致拿到次品的概率：**
    *   第一步：拿到一个灯泡，它恰好是A2生产的概率是多少？ → **P(A2) = 40% = 0.4**
    *   第二步：如果这个灯泡来自A2，它是次品的概率是多少？ → **P(次品 | A2) = 3% = 0.03**
    *   所以，“灯泡既来自A2又是次品”这个联合事件的概率是：
        `P(A2) × P(次品 | A2) = 0.4 × 0.03 = 0.012`

3.  **把所有的可能性加起来，得到总概率：**
    *   这个灯泡是次品，要么通过途径1发生，要么通过途径2发生。所以总的次品概率就是把上面两个概率相加：
        `P(次品) = 0.006 + 0.012 = 0.018`

**结论：** 随机拿一个灯泡，它是次品的概率是 **1.8%**。

其实，我们也可以使用**极限**的思想来验证结果，假如我厂产品全部是由$A1$提供，拿到次品的概率是1%， 假如我厂产品全部是由$A2$提供，拿到次品的概率是3%，现在是由两厂同时提供，则次品率肯定在$1\%<  X < 3\%$ 之间，现在算出来的结果是1.8%， 所有结果是正确的。更进一步，你可以认为供货的的占比就是**权重**。

### **公式抽象**

把上面的例子抽象成数学公式，就是全概率公式：

如果事件 B 的发生只能由 n 种互斥的原因 A₁, A₂, ..., Aₙ 之一引起，那么事件 B 发生的概率为：

$$
\boxed{
P(B) = P(A_1) × P(B | A_1) + P(A2) × P(B | A_2) + ... + P(A_n) × P(B | A_n)
 ...\text{(全概率公式)}}
$$

在我们的例子中：
$B$ 是“拿到次品”这个事件
$A_1$ 是“灯泡来自工厂A1
$A_2$ 是“灯泡来自工厂A2

现在拿到一个次品，要么是A1，要么是A2,所以是一个完备事件组。

## 全概率公式

设 $E$ 为随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间， $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为事件组，若满足
(1) $A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$,
(2) $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$,
则称该事件组为完备事件组。 比如，扔骰子，观察出现的点数的概率，那么出现，1点，2点，... 到6点的概率就是一个完备事件组，特别是，在实际意义里，我们多取事物的两面性：比如硬币的正面和反面，产品的合格和不合格，成绩的及格和不及格等。他们都满足完备事件组。
 
全概率公式的定义为

$$
B=\bigcup_{i=1}^n B A_i \quad \text { 则有 } \quad P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(B A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)
$$

### 理解

![图片](/uploads/2025-09/fc6b12.jpg){width=300px}

参考引例和上图：假设我有一个工厂，有三家供应商给我供货，这三家分别是$A_1,A_2,A_3$，供货比例分别是 $P(A_1), P(A_2), P(A_3)$ ,而每家的不良率为 $P(B_1), P(B_2), P(B_3)$

则

> 总的不良率 = 第一个工厂的占比乘以该厂的不良率 **加上** 第二个工厂的占比乘以该厂的不良率 **加上** 第三个工厂的占比乘以该厂的不良率

即 
 $P(B)= P(A_1) P(B_1)+ P(A_2) P(B_2)  P(A_3) P(B_3)$

其中，$P(B_i)$ 表示的是$A_i$厂的不良率。

### 图解全概率
全概率公式的成立条件必须是所有概率为1.比如某人上班可选择地铁、步行或摩托车三种交通方式，如图所示，其中标注了每种方式的选择概率及对应的迟到概率。求此人总的迟到概率。此时要注意：所有的概率和 $0.6+0.1+0.3=1$， 因此，迟到的概率为：
$P(B)   =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A

其他版本
【高中数学】全概率公式

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