最后更新: 2025-12-30 21:09 查看: 169 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

乘法公式★★★★★

## 乘法公式

由条件概率公式:  $P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \quad$
稍微变形后有 
$$ 
\boxed{
\quad P(A B)=P(A) P(B \mid A)
}
$$
上式称为概率的**乘法公式**.

> 上面公式的通俗理解是：$A,B$两个事件同时发生的概率 = $A$事件发生的概率 × 在$A$事件发生的条件下$B$事件发生的概率。

当看到上面公式时，或许你会感觉为什么 $P(A B) \neq P(A) P(B)$，其实在两次独立的事件情况下才对，稍后章节会介绍事件的独立性，比如射击两次，第一次射中与第二次射中是彼此独立的，可以直接使用$P(A B) = P(A) P(B)$

乘法公式可推广到多个事件上去，例如，多个事件的乘法公式为

$$
P(A B C)=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B)
$$

> 上式的通俗解释是：$ABC$同时发生的概率等于： $A$发生的概率 **乘以** 在$A$发生下$B$发生的概率  **乘以** 在$AB$发生的情况下$C$发生的概率。

下面视频介绍了上面乘法公式的意义（视频来B站自宋浩《概率论与数理统计》教程）
<video width=600px height="500px";  controls>
 <source src="/uploads/2025-09/cfgs.mp4" type="video/mp4" />
</video>

`例`从一副不含大小王的52张扑克牌中，依次不放回地抽取两张牌，求两张都是红桃的概率。

解：
 设 $ A $ = 第一张是红桃，$ B $ = 第二张是红桃。
 $ P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} $
 $ P(B \mid A) = \frac{12}{51} $（因为第一张抽走了一张红桃）
 所以 $ P(A \cap B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{51} = \frac{12}{204} = \frac{1}{17} $

`例` 100 件产品中有 10 件次品，用不放回的方式从中每次取一件，连取三次，求第三次才取得次品的概率．

解 设 $A_i$ 表示第 $i$ 次取得正品，其中 $i=1,2,3$ ．
由题意，所求概率应为 $P\left(A_1 A_2 \bar{A}_3\right)$ ，根据乘法公式，

$$
\begin{aligned}
P\left(A_1 A_2 \bar{A}_3\right) & =P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right) P\left(\bar{A}_3 \mid A_1 A_2\right) \\
& =\frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98}=0.0826
\end{aligned}
$$

`例`甲袋中装有 9 个乒乓球，其中 3 个白球， 6 个黄球，乙袋中也装有 9 个乒乓球， 5 个白球， 4 个黄球。首先从甲袋中任选一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球放入甲袋，则甲袋中白球数目不会发生变化的概率为 $\_\_\_\_$。
解 令 $A$ 表示事件＂经过两次交换球后，甲袋中白球数目不变＂，
$B$ 表示事件＂从甲袋中取出并放入乙袋的是白球＂，
$C$ 表示事件＂从乙袋中取出并放人甲袋的是白球＂，
那么 $A=B C+\bar{B} \bar{C}$

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(B C+\bar{B} \bar{C})=P(B C)+P(\bar{B} \bar{C})=P(B) P(C \mid B)+P(\bar{B}) P(\bar{C} \mid \bar{B}) \\
& =\frac{3}{9} \times \frac{6}{10}+\frac{6}{9} \times \frac{5}{10}=\frac{8}{15}
\end{aligned}
$$

`例`袋中有 $a$ 个白球 $b$ 个黑球，随机取出一个球，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球 $c$ 个，再取第二个，这样连续三次．问取出的三个球中前两个是黑球，第三个是白球的概率是多少？

解 设 $A_i$ 表示取出的第 $i$ 个球为白球，则所求的概率为

$$
\begin{aligned}
P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 A_3\right) & =P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2\right)\left(A_3 \mid \bar{A}_1 \bar{A}_2\right)=P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2 \mid \bar{A}_1\right) P\left(A_3 \mid \bar{A}_1 \bar{A}_2\right) \\
& =\frac{b}{a+b} \cdot \frac{b+c}{a+b+c} \cdot \frac{a}{a+b+2 c} .
\end{aligned}
$$

## 推广
设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 个事件，且 $P\left(A_1 A_

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