最后更新: 2024-10-27 07:35 查看: 327 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

条件概率

## 条件概率

条件概率是概率论中非常重要的一个概念，他是指在$A$ **已经发生**的情况下，发生$B$的概率，下面先给出定义，然后通过例题来解释。

**定义1**  给定一个随机试验, $\Omega$ 是它的样本空间，任意两个事件 $A, B$ ，其中 $P(B)>0$ ，
称

$$ \boxed{
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}
}
$$

为已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件慨率.

`例`比如，有$100$个学生，其中男生、女生各$50$人，男生中，$18$岁的有$30$人。
（1）我们随便从$100$个人里随机叫一个人出来，这个人是男生的概率为$P(A)=50\%$

（2）我们随便从100个人里叫一个18岁男生人出来，是18岁男生的概率是
$P(B)=30\%$

现在求：我们叫一个男生出来，问他是18岁的概率是多少？这就相当于问“在$50$个男生中，有$30$个是18岁的，求他的概率”，所以结论就是：$30/50=60\%$

在这里，因为添加了限制信息（我们叫出来一个男生），导致原本的样本空间发送了变化。我们就说60%是已知条件为“男生”的“18岁男生”的条件概率。

`例` 掷三个均匀骰子. 已知第一粒骰子掷出1点 (事件 B). 问："掷出点数之和不小于 10 "这个事件 $A$ 的条件概率是多少?

解：既然第一粒骰子已坐定了 1 （**样本空间已经变了**）, 则在这一条件下, 为使事件 $A$发生,第二、三粒骰子郑出点数之和不能小于 9 . 这一情况有 10种，即 $36,63,45,54,46,64,55,56,65,66$. 这里 "36 "表示第二、三粒骰子分别郑出 3 和 6 , 余类推, 这样, 得出 $P(A \mid B)=10 / 36=5/18$.

> 理解条件概率的本质就记住一句话：额外信息导致样本空间缩小

再举一个简单的例子：现在有五个家庭，每个家庭一个孩子，孩子性别未知，是男孩儿女孩儿的相等。普通概率就比如说问你：P(五个孩子中三男两女) = ？条件概率可以这样问：P(五个孩子中三男两女 | 发现有两个家庭的孩子是女孩) = ？注意竖杠 “|”  后面的是事件所谓的“条件”，就是我们知道的“额外信息”，这个额外信息会导致样本空间，即所有可能发生的情况，或者你可以想成我们求概率时候到分母上的东西的减少。比如，五个家庭都是男孩的情况就被排除了（知道五个里面有两个女孩了，怎么可能五个都是男孩呢），不会算在分母中，四个男孩的情况也被排除了，也不会被算在分母中，所以条件概率相当于知道了某个信息，导致原本的样本空间缩小了，所以概率的计算方法就不能按照普通概率的计算方法了，分母需要变。这就是条件概率的本质

`例`   一LED 台灯能用 1000 小时的概率为 0.8 , 能用 1500 小时的概率为 0.4 , 求已用 1000 小时的 LED 能用到 1500 小时的概率？

解：条件概率的重点在“条件”，在本题里的条件是：已经知道使用了1000小时的前提下，能用到1500小时的概率，所以，可以利用条件概率公式计算。

$A$ : LED 能用到 1000 小时
$B$ : LED 能用到 1500 小时

所求概率为

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0.4}{0.8}=\frac{1}{2}
$$

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