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概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
条件概率与乘法公式
日期:
2023-12-24 10:26
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条件概率与乘法公式
## 条件概率 条件概率是概率论中非常重要的一个概念,他是指在A已经发生的情况下,发生B的概率,下面先给出定义,具体的理解请参考例题。 **定义1** 给定一个随机试验, $\Omega$ 是它的样本空间,任意两个事件 $A, B$ ,其中 $P(B)>0$ , 称 $$ P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} $$ 为已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件慨率. ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103c3e7603.png) 相仿可以得到如下性质: $$ P(\bar{A} \mid B)=1-P(A \mid B) $$ 以及 $$ P(A-B \mid C)=P(A \mid C)-P(A B \mid C) $$ 等。 **例1** 一LED 台灯能用 1000 小时的概率为 0.8 , 能用 1500 小时的概率为 0.4 , 求已用 1000 小时的 LED 能用到 1500 小时的概率? 解:条件概率的重点在“条件”,在本题里的条件是:已经知道使用了1000小时的前提下,能用到1500小时的概率,所以,可以利用条件概率公式计算。 $A$ : LED 能用到 1000 小时 $B$ : LED 能用到 1500 小时 所求概率为 $$ P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0.4}{0.8}=\frac{1}{2} $$ ## 乘法公式 由条件概率公式: 当 $P(A)>0$ 时, 有 $P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \quad$ 变形后有 $\quad P(A B)=P(A) P(B \mid A)$ 上式称为概率的乘法公式. 乘法公式可推广到多个事件上去,例如,多个事件的乘法公式为 $$ P(A B C)=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B) $$ 上式的通俗解释是:ABC同时发生的概率等于: A发生的概率 乘以 在A发生下B发生的概率 乘以 在AB发生的情况下C发生的概率。 **例1** 某医院有 $A$ 与 $B$ 两种报警设备, 已知设备 $A$ 单独使用时有效的概率为 0.92 , 设备 $B$ 单独使用时有效的概率为 0.93 , 在设备 $A$ 失效的条件下, 设备 B 有效的概率为 0.85 , 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。 解:设事件 $A, B$ 分别表示设备 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 有效。已知 $$ \begin{aligned} & P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B \mid \bar{A})=0.85, \text { 求 } P(A \cup B) \text { 。 } \\ & P(B \mid \bar{A})=P(B \bar{A}) / P(\bar{A})=(P(B)-P(A B)) /(1-P(A)) \\ & \Longrightarrow 0.85=(0.93-P(A B)) /(0.08) \\ & \Longrightarrow P(A B)=0.862 \\ & \Longrightarrow P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.92+0.93-0.862=0.988 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} P(\overline{A \cup B}) & =P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B} \mid \bar{A}) \\ & =P(\bar{A})[1-P(B \mid \bar{A})] \\ & =0.08[1-0.85] \\ & =0.012 \\ \Longrightarrow & P(A \cup B)=0.988 \end{aligned} $$ **例2** (罐子模型) 设罐中有 $b$ 个黑球、 $r$ 个红球, 每次随机取出一个球, 取出后将原球放回,还加进 $c$ 个同色球和 $d$ 个异色球. 记 $B_i$ 为 “第 $i$ 次取出的是黑球”, $R_j$ 为 “第 $j$ 次取出的是红球”. 若连续从罐中取出三个球, 其中有两个红球、一个黑球. 则由乘法公式我们可得 $$ \begin{aligned} P\left(B_1 R_2 R_3\right) & =P\left(B_1\right) P\left(R_2 \mid B_1\right) P\left(R_3 \mid B_1 R_2\right) \\ & =\frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2 c+2 d}, \\ P\left(R_1 B_2 R_3\right) & =P\left(R_1\right) P\left(B_2 \mid R_1\right) P\left(R_3 \mid R_1 B_2\right) \\ & =\frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2 c+2 d}, \\ P\left(R_1 R_2 B_3\right) & =P\left(R_1\right) P\left(R_2 \mid R_1\right) P\left(B_3 \mid R_1 R_2\right) \end{aligned} $$ $$ =\frac{r}{b+r} \cdot \frac{r+c}{b+r+c+d} \cdot \frac{b+2 d}{b+r+2 c+2 d} . $$ 以上概率与黑球在第几次被抽出有关. 罐子模型也称为波利亚 (Pólya) 模型,这个模型可以有各种变化,具体见下: (1) 当 $c=-1, d=0$ 时, 即为不返回抽样. 此时前次抽取结果会影响后次抽取结果.但只要抽取的黑球与红球个数确定, 则概率不依赖其抽出球的次序, 都是一样的. 此例中有 $$ P\left(B_1 R_2 R_3\right)=P\left(R_1 B_2 R_3\right)=P\left(R_1 R_2 B_3\right)=\frac{b r(r-1)}{(b+r)(b+r-1)(b+r-2)} . $$ 上例 可以归结为此种情况. (2) 当 $c=0, d=0$ 时, 即为返回抽样. 此时前次抽取结果不会影响后次抽取结果. 故上述三个概率相等, 且都等于 $$ P\left(B_1 R_2 R_3\right)=P\left(R_1 B_2 R_3\right)=P\left(R_1 R_2 B_3\right)=\frac{b r^2}{(b+r)^3} . $$ (3) 当 $c>0, d=0$ 时,称为传染病模型. 此时, 每次取出球后会增加下一次取到同色球的概率, 或换句话说, 每次发现一个传染病患者, 以后都会增加再传染的概率. 与 (1), (2)一样, 以上三个概率都相等, 且都等于 $$ P\left(B_1 R_2 R_3\right)=P\left(R_1 B_2 R_3\right)=P\left(R_1 R_2 B_3\right)=\frac{b r(r+c)}{(b+r)(b+r+c)(b+r+2 c)} . $$ 从以上 (1)、(2) 和 (3) 中可以看出: 在罐子模型中只要 $d=0$, 则以上三个概率都相等. 即只要抽取的黑球与红球个数确定, 则概率不依赖其抽出球的次序, 都是一样的. 但当 $d>0$ 时,就不同了,见下面 (4). (4) 当 $c=0, d>0$ 时, 称为安全模型. 此模型可解释为: 每当事故发生了(红球被取出), 安全工作就抓紧一些,下次再发生事故的概率就会减少; 而当事故没有发生时 (黑球被取出), 安全工作就放松一些, 下次再发生事故的概率就会增大. 在这种场合, 上述三个概率分别为 $$ \begin{aligned} & P\left(B_1 R_2 R_3\right)=\frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+d} \cdot \frac{r+d}{b+r+2 d}, \\ & P\left(R_1 B_2 R_3\right)=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+d} \cdot \frac{r+d}{b+r+2 d},\\ & P\left(R_1 R_2 B_3\right)=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{r}{b+r+d} \cdot \frac{b+2 d}{b+r+2 d} . \end{aligned} $$
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