最后更新: 2025-12-30 10:59 查看: 447 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

条件概率★★★★★

## 条件概率的引入
在实际生活中，有时会遇到在事件 $A$ 发生的条件下计算事件 $B$ 的概率问题．怎样解决这类问题呢？我们先来考察下面两个问题。

**问题1**  投掷一个骰子，出现偶数的概率。设 $A=$＂掷出的点数为偶数＂，事件 $A$ 包含的结果只有 3 个，它们是 $2,4,6$ 点 。因而是偶数的概率是

$$
P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
$$

![图片](/uploads/2025-09/43a597.jpg){width=300px}

**问题2** 掷一个骰子，求掷出的点数为 4 的概率．
本次试验的样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，设 $B=$＂掷出的点数为4 ＂，则 $B$ 中样本点个数为 1 ，由古典概型知识可得

$$
P(B)=\dfrac{B \text { 中样本点个数 }}{\Omega \text { 中样本点个数 }}=\dfrac{1}{6} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-09/044d10.jpg){width=200px}
  
### 条件概率
现在根据问题1和问题2，我们引入问题3
**问题3** 在投掷骰子的点数是偶数的情况下，点数是4的概率？

在这个问题中，**已经有了大前提**：投掷的点数已知是偶数，此时样本空间不再是6，而变成了3，在这个缩小的样本空间里(即缩小后的样本空间变为{2,4,6})，点数是4个可能性为1, 所以 在已知投掷结果是偶数的情况下，这个点数又是4的概率为 $\frac{1}{3}$

如果我们记 A="投掷的是偶数" ,B="投掷的点数是4", 则所求的就是
$P(B|A)$ 他恰好等于 **$\dfrac{问题2}{问题1}=\frac{1}{6}/\frac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$** ，这不是偶然的，这就是下面所的条件概率。
 
> 理解条件概率的核心点是：在“条件”的前提下，后面所求的样本空间已经发生了变化。

## 条件概率
世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例外．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在一定程度的相互影响。例如，在天气状况恶劣的情况下交通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得多．一般地，我们把在一个事件 $A$ 已发生的前提条件下事件 $B$ 发生的概率，称为事件 $B$ 的条件概率，记为 $P(B \mid A)$ ． 下面先给出定义，然后通过例题来解释。

**定义1**  给定一个随机试验, $\Omega$ 是它的样本空间，任意两个事件 $A, B$ ，其中 $P(B)>0$ ，称

$$ \boxed{
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}
}
$$

为已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件慨率.

###  公式推导（从古典概型入手）
我们用**古典概型**（样本空间有限、每个样本点等可能）来推导，更易理解：
设样本空间为 $\Omega$，包含 $n$ 个等可能的样本点。
- 事件 $A$ 包含 $n(A)$ 个样本点，事件 $B$ 包含 $n(B)$ 个样本点；
- 事件 $A\cap B$（$A$、$B$ 同时发生）包含 $n(A\cap B)$ 个样本点。

当事件 $B$ 已经发生时，**新的样本空间不再是 $\Omega$，而是 $B$ 本身**，此时只有 $B$ 中的样本点有可能出现，总数为 $n(B)$。
在这个新样本空间里，事件 $A$ 发生的样本点就是 $A\cap B$ 的样本点，数量为 $n(A\cap B)$。

因此条件概率公式为：
$$
P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(\Omega)}}{\frac{n(B)}{n(\Omega)}}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
**前提**：$P(B)>0$（如果 $B$ 不可能发生，讨论 $A|B$ 无意义）。

同理可得对称公式：
$$
P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \quad (P(A)>0)
$$

## 基础例题

`例`  一个袋子里有 5 个红球、3 个白球，**不放回**地先后取 2 个球。已知第一次取到红球，求第二次取到红球的概率。

**解**：设 $A=$“第一次取到红球”，$B=$“第二次取到红球”，求 $P(B|A)$。
- 当 $A$ 发生时，袋子里还剩 $4$ 红 $3$ 白，共 $7$ 个球；
- 此时取红球的样本点有 $4$ 个，总样本点有 $7$ 个；
- 因此 $P(B|A)=\frac{4}{7}$。

`例`一个袋子里有 5 个红球、3 个白球，**不放回**地先后取 2 个球。求**两次都取到红球**的概率。

**解**：两次都取红球即 $A\cap B$，用乘法公式：
$$
P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{14}
$$

`例` 三门问题简化版 有 2 扇门，1 扇后有奖品，1 扇后无奖品。你选了门 1，主持人打开了门 2（无奖品），求你选的门 1 有奖品的概率。

**解**：设 $A=

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