最后更新: 2025-08-19 21:21 查看: 593 次反馈同步训练

Green公式格林公式

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
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![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}
 
## 为什么引入格林公式
在学习定积分时有一个牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)$

如下图，要求$f(x)$ 围成的面积，只要找到边界曲线$F(x)$，然后求$F(b)-F(a)$ 即可得到曲面面积。

牛顿-莱布尼兹公式揭示了 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分与它的 **原函数在边界集合$\{a, b\}$** 上取值的关系，

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下面将介绍的是格林公式，如下图，由有向曲线围成的面积能否像牛顿莱布尼兹公式一样，**只计算边界线来求得呢**？当然是可以的，这就是格林公式。

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## 格林公式标准定义
**定理1** 设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \boxed{
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
}
$$ 
  
其中 $L$ 是 $D$ 的**正向边界曲线**.上式称为**格林公式**，

关于格林公式的推导请参加[格林公式的数学证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=422)
就像牛顿-莱布尼兹公式一样，其值是通过计算$F(b)-F(a)$得到（需要是减法），同样，格林公式是通过计算$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $ 而得到（也是减法）。这里介绍一下格林公式的物理意义。

## 格林公式等号左边的意义
#### 正向边界曲线
在数学里，对于正向边界曲线的定义是：**当你沿着曲线逆时针行走时，积分区域(如下图就是阴影部分面积)始终在你的左手侧**。
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参考上图，特别要注意内部有“㓊”的曲线方向，此时，他的正向是顺时针方向。

#### 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 即管口和水流平行，此时流量为零
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现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

现在把上面的“面”改为“线”，这就是“流体”通过曲线的流量，即二维通量。

**二维通量**

一速度场$F$通过一个曲线，要计算他通过曲线的流量，可以把速度场分解为平行切线的速度t向量和垂直切线的速度n向量。显然平行切线的t通量为零，我们只要关注垂直切线的n流量即可，由此引入下面的定义。详细理解通量请点击[通量的意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)

![图片](/uploads/2025-05/d78ec6.jpg){width=400px}
 
 
**通量的概念**：通量是另一种线积分，它衡量的是向量场穿过曲线的＂流量＂。
定义：对于平面曲线 $C$ 和向量场 $\vec{F}, ~ \vec{F}$ 穿过 $C$ 的通量定义为：

通量 $=\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s $

其中：
- $\hat{n}$ 是曲线 $C$ 的单位法向量。
- $d s$ 是沿曲线 $C$ 的弧长元素。
- 惯例：$\hat{n}$ 指向曲线 $C$ 的右侧，即从单位切向量 $\hat{T}$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到的向量。

下图：紫色箭头代表速度方向，绿色箭头代表曲线的法向量。
 ![图片](/uploads/2025-05/67679a.jpg){width=400px}
 
 通量衡量的是向量场 $\vec{F}$ 与曲线 $C$ 的法向量 $\hat{n}$ 的点积沿曲线 $C$ 的积分。 在曲线 $C$ 上的每一点，我们都计算向量场 $\vec{F}$ 在该点法线方向上的分量，然后将这些分量沿着曲线 $C$ 求和。再积分就是流过曲线$C$的总流量，
即：总流量= $ \lim _{\Delta s \rightarrow 0} \sum(\vec{F} \cdot \hat{n}) \Delta s $

![图片](/uploads/2025-05/165bff.jpg)

> **我们在曲线积分里，介绍过向量场沿着曲线切线方向的积分为功，而在这里介绍向量场沿着曲线法线方向的积分为通量，两种比较如下：详细说明见[格林第一公式与第二公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430)**

**通量与功的比较**

|        | 功                                  | 通量                                 |
|--------|------------------------------------|------------------------------------|
|  数学表达式 | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{T} d s$ | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s$ |
|  物理意义  | 衡量向量场沿曲线**切向量**的累积效应                    | 衡量向量场穿过曲线**法向量**的累积效应                     |
| 计算方式   |  使用切向分量                            |  使用法向分量                            |
|        |                                    |                                    |

#### 通量的正负：

- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 的方向一致，则通量为正，表示流体从曲线的左侧流向右侧。
- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 的方向相反，则通量为负，表示流体从曲线的右侧流向左侧。
- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 垂直，则通量为零，表示没有流体穿过曲线。

## 从物理角度解释通量

通量的概念在物理学中有着直观的解释，尤其是在流体动力学中。如果我们把向量场 $\vec{F}$ 看作是速度场，那么通量就代表了每单位时间内有多少流体穿过曲线 $C$ 。

想象一下，你有一条河流，河水以一定的速度流动，这个速度可以用向量场 $\vec{F}$ 来表示。现在，你在河

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