最后更新: 2025-09-15 12:09 查看: 834 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

格林公式Green公式

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
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![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}
 
## 为什么引入格林公式
在学习定积分时有一个牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)$

如下图，要求$f(x)$ 围成的面积，只要找到边界曲线$F(x)$，然后求$F(b)-F(a)$ 即可得到曲面面积。

牛顿-莱布尼兹公式揭示了 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分与它的 **原函数在边界集合$\{a, b\}$** 上取值的关系，

![图片](/uploads/2024-10/bd0b35.jpg){width=300}

下面将介绍的是格林公式，如下图，由有向曲线围成的面积能否像牛顿莱布尼兹公式一样，**只计算边界线来求得呢**？当然是可以的，这就是格林公式。

![图片](/uploads/2025-04/7889d1.jpg){width=500}

## 格林公式标准定义
**定理1** 设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \boxed{
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
}
$$ 
  
其中 $L$ 是 $D$ 的**正向边界曲线**.上式称为**格林公式**，

关于格林公式的推导请参加[格林公式的数学证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=422)
就像牛顿-莱布尼兹公式一样，其值是通过计算$F(b)-F(a)$得到（需要是减法），同样，格林公式是通过计算$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $ 而得到（也是减法）。这里介绍一下格林公式的物理意义。

## 格林公式等号左边的意义
  
###  通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 即管口和水流平行，此时流量为零
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现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

现在把上面的“面”改为“线”，这就是“流体”通过曲线的流量，即二维通量。

### 二维通量

一速度场$F$通过一个曲线，要计算他通过曲线的流量，可以把速度场分解为**平行切线的速度t向量**和**垂直切线的速度n向量**。显然平行切线的t通量为零，我们只要关注垂直切线的n流量即可，由此引入下面的定义。详细理解通量请点击[通量的意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)

![图片](/uploads/2025-05/d78ec6.jpg){width=400px}
 
 
**通量的定义**：对于平面曲线 $C$ 和向量场 $\vec{F}, ~ \vec{F}$ 穿过 $C$ 的通量定义为 $=\int_C \vec{F} \cdot \vec{n} d s $

定义里使用了向量的

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