最后更新: 2024-09-08 16:21 查看: 716 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高斯 Gauss

高斯，德国人，大数学家、天文学家、物理学家、大地测量学家

![图片](/uploads/2023-10/1f2be1.jpg){width=200px}

## 一些经历

1.高斯在 9 岁上小学的时候，有一天老师故意布置了一道为难学生的数学题

$$
1+2+3+\cdots+100=?
$$

没想到高斯一下子就给出了正确答案，是 5050 . 而且还解释了解答方法，那就是首尾相加，而现在 等差数列 的求和公式

$$
a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2} .
$$

就是用高斯的这种方法推导出来的.

2. 高斯在 11 岁时独立推导出了 牛顿 的 二项式定理

$$
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k .
$$

3. 1792 年，这一年高斯 15 岁. 有一天高斯偶然得到一本书，书上有一个对数表，还有一个素数表. 由于闲来无事，高斯花了将近一刻钟的时间计算了其中 1000 个，他惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现就是就是著名的 素数定理:

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{\operatorname{Li(x)}}=1, \quad \operatorname{Li}(x)=\int_2^x \frac{d t}{\log t} .
$$

4. 高斯 19 岁，这一年是高斯的高光时刻! 3 月 30 日: 高斯证明了正十七边形可以尺规作图.
   证明正十七边形可以尺规作图的关键是证明 $\cos \frac{2 \pi}{17}$ 可以用根式表达出来，高斯经过一顿巧算得到

$$
\begin{aligned}
\cos \frac{2 \pi}{17}= & -\frac{1}{16}+\frac{1}{16} \sqrt{17}+\frac{1}{16} \sqrt{34-2 \sqrt{17}} \\
& +\frac{1}{8} \sqrt{17+3 \sqrt{17}-\sqrt{34-2 \sqrt{17}}-2 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-10/2658cc.jpg)

正十七边形的尺规作图问题是一个千古难题，对于这一问题的解决高斯颇为得意，据说高斯因此决定在数学和文学之间选择将数学作为自己的终身事业，而把文学当做兴趣爱好，他还嘱咐后人将正十七边形刻在自己的墓碑上.
单单证明正十七边形可以尺规作图还不过瘾，高斯干脆一口气把正多边形的尺规作图问题一锅端了，即得到下述结论：
高斯定理  : 正 $n$ 形边可以尺规作图当且仅当 $ n=2^k F_{m_1} F_{m_2} \cdots F_{m_l}$ ，其中 $k, l \geq 0$ ，而 $F_{m_1}, F_{m_2}, \cdots, F_{m_l}$ 为两两不同的 费马素数.

4 月 8 日: 高斯证明了自己奉之为瑰宝的二次互反律 ${ }^{\mathrm{a}}$ :

$$
\left(\frac{p}{q}\right) \cdot\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} .
$$

高斯对二次互反律钟爱有加，前后一共给出过 6 种不同的证法，每一种证法都包含了重要的数学思 想. 后来他又发现了 四次互反律:

$$
\chi_\pi(\lambda)=\chi_\lambda(\pi) \cdot(-1)^{\frac{N(\pi)-1}{4} \cdot \frac{N(\lambda)-1}{4}} .
$$

从二次互反律开始，然后发展到三次互反律 和四次互反律，后面继续推广到 艾森斯坦互反律，最 后拓广到称之为 类域论 理论高峰的 阿廷互反律. 由此可知二次互反律的重要性，高斯对之爱不释 手也就不难理解了.

7月 10 日: 高斯证明了下述结论:
高斯定理: 每一个正整数都可以表示为不超过 3 个三角数Q 之和.
比如我们观察前面几个正整数:

$$
\begin{aligned}
& 1=1,2=1+1,3=3=1+1+1, \\
& 4=1+3,5=1+1+3,6=6=3+3, \\
& 7=1+3+3,8=1+1+6,9=3+6, \\
& 10=10=1+3+6,11=1+10, \cdots
\end{aligned}
$$

高斯的这一重要结论和下面这些著名的定理紧密相关:
拉格朗日四平方和定理 ${ }^{\mathrm{a}}$ : 每一个正整数都可以表示为不超过 4 个平方数之和.
费马定理: 当 $n \geq 3$ 时，每一个正整数都可以表示为不超过 $n$ 个 $n$ 角数之和.

10月 1 日: 高斯得到了关于有限域系数的方程的解的个数的结果，即下述问题:
考虑有限域 $F_p$ 上的方程 $x^3+y^3=1$ ，此方程只有有限个解，我们将其解的个数记为 $N\left(x^3+y^3=1\right)$. 那 $N\left(x^3+y^3=1\right)$ 的值是多少呢? 高斯给出了下述答案:
高斯定理：设 $p$ 为素数，则
(1). 当 $p \equiv 1(\bmod 3)$ 时，

$$
N\left(x^3+y^3=1\right)=p-2+A .
$$

其中，整数 $A$ 满足 $A \equiv 1(\bmod 3)$ ，且 $4 p=A^2+27 B^2$.
(2). 当 $p \equiv 2(\bmod 3)$ 时，

$$
N\left(x^3+y^3=1\right)=p .
$$

如当 $p=61$ 时，显然有 $4 \cdot 61=1^2+27 \cdot 3^2$ ，从而

$$
N\left(x^3+y^3=1\right)=61-2+1=60 .
$$

而当 $p=67$ 时，显然有 $4 \cdot 61=(-5)^2+27 \cdot 3^2$ ，从而

$$
N\left(x^3+y^3=1\right)=67-2-5=60 .
$$

高斯的上述结果对后世影响极大，数学家 韦依 据此提出了对于 20 世纪的代数几何 造成重大影响 的韦依猜想.

7. 1799 年，高斯 22 岁，他在这一年完成了博士论文，在其博士论文里高斯第一个给出了下述重 要定理的证明:
   代数学基本定理: 复系数多项式方程 $\mathrm{Q}$

$$
a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n=0
$$

必有根. 其中 $n \geq 1 ， a_0 \neq 0$.
在高斯的博士论文中，他并未具体构造出多项式方程的解，而是一种纯粹的存在性证明. 高斯前后一 共给出过代数学基本定理的四个证明，其中最后一个是在 1849 年给出的，是为了庆祝他获得博士 学位 50 周年，此时高斯已 72 岁高龄.

8. 1801 年，高斯 24 岁，在这一年高斯的数论专著《算术研究》问世，这是一部划时代的著作. 在书中高斯对前人在数论中的一些杰出而又零散的成果予以系统地整理并加以推广

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：黎曼 Riemann

本文对您是否有用？有用 (2) 无用 (0)