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黎曼 Riemann

## 简介

黎曼，德国数学家，黎曼几何创始人，复分析创始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的定义积分：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述，其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论数学的基础。

![图片](/uploads/2023-10/448adb.jpg){width=200px}

## 黎曼积分

由黎曼创立的积分叫做黎曼积分（英语：Riemann integral），黎曼首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。（关于黎曼积分在技术上的某些不足之处可参考勒贝格积分）。
让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积（既右图区域 $S$ 的面积），可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示:

$$
\int_a^b f(x) d x
$$

黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a, b] \mapsto \mathbb{R}_{<0}$ ，则其面积亦为 负值。
![图片](/uploads/2023-10/7261a6.svg){width=300px}

![Riemann.gif](/uploads/2023-10/386520.gif){width=300px}

## 黎曼 $\zeta$ 函数

黎曼$\zeta(s)$函数，定义如下：设一复数 $s$ 使得 $ {Re}(s)>1$ ，则定义:

$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
$$

它亦可以用积分定义:

$$
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \mathrm{~d} x
$$

在区域 $\{s: {Re}(s)>1\}$ 上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。 如果s取1，则是下面的调和级数。

#### 1.调和级数

古希腊毕达哥拉斯学派最早从琴弦长度的研究上发现的一种数量关系。他们发现，一根拉紧的琴弦如果弹出某个音调，比如说是do，那么取其 1/2  弦长，弹出的音调就是高八度的do，取其 2/3 弦长，就会弹出高五度的so。和谐的声音是琴弦长度的比例造成的，于是，毕达哥拉斯学派就把能够生成谐音的这些表示弦长比例的数也认为是和谐的。那么，这些和谐的数究竟有什么奇妙的特征呢？注意到

$$
\dfrac{1}{2}  : \dfrac{2}{3} : 1  =3:4:6
$$

它们的倒数刚好构成等差数列. $ 2,\dfrac{3}{2},1 $ 和 $ 1/3,1/4,1/6 $,也就是说：如果一个数列各项取倒数后成等差数列，那么原数列就称为调和数列，即和谐的一列数, 由此产生调和级数。

调和级数事实上是数列$ 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4}...\dfrac{1}{n},$的和。这个数列各项的倒数 $ 1,2,3,4,5,6...n $
显然就是等差数列，于是它们各项本身 确实也就构成了一个调和数列。

奥里斯姆早在 1350 年左右，证明了:

$$
\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \rightarrow \infty
$$

简单证明如下

$$
\begin{aligned}
\zeta(1) & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots \\
& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots \\
& \geq 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots \\
& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots \\
& \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$

#### 2. 欧拉的错误证明及正确结论

欧拉在 1735 年给出了给出了 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ 的证明。其证明过程一般假设是错误的，但是却得到了正确的结论。

欧拉最初推导 $\frac{\pi^2}{6}$ 的方法是聪明和新颖的。他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的。然而，欧拉没有证明此一假设，且此一假设在一般 情况下也是错误的。不过他计算了级数的部分和后发现，级数确实趋近 $\frac{\pi^2}{6}$ ，欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始:

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots
$$

两边除以 $x$ ，得:

$$
\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3 !}+\frac{x^4}{5 !}-\frac{x^6}{7 !}+\cdots
$$

现在， $\frac{\sin x}{x}=0$ 的根出现在 $x=n \cdot \pi$ ，其中 $n= \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ 我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因 式分解一样:

$$
\begin{aligned}
\frac{\sin x}{x} & =\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2 \pi}\right)\left(1+\frac{x}

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