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黎曼 Riemann

## 简介

黎曼，德国数学家，黎曼几何创始人，复分析创始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的定义积分：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述，其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论数学的基础。

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## 黎曼积分

由黎曼创立的积分叫做黎曼积分（英语：Riemann integral），黎曼首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。（关于黎曼积分在技术上的某些不足之处可参考勒贝格积分）。
让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积（既右图区域 $S$ 的面积），可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示:

$$
\int_a^b f(x) d x
$$

黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a, b] \mapsto \mathbb{R}_{<0}$ ，则其面积亦为 负值。
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![Riemann.gif](/uploads/2023-10/386520.gif){width=300px}

## 黎曼 $\zeta$ 函数

黎曼$\zeta(s)$函数，定义如下：设一复数 $s$ 使得 $ {Re}(s)>1$ ，则定义:

$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
$$

它亦可以用积分定义:

$$
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \mathrm{~d} x
$$

在区域 $\{s: {Re}(s)>1\}$ 上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。 如果s取1，则是下面的调和级数。

#### 1.调和级数

古希腊毕达哥拉斯学派最早从琴弦长度的研究上发现的一种数量关系。他们发现，一根拉紧的琴弦如果弹出某个音调，比如说是do，那么取其 1/2  弦长，弹出的音调就是高八度的do，取其 2/3 弦长，就会弹出高五度的so。和谐的声音是琴弦长度的比例造成的，于是，毕达哥拉斯学派就把能够生成谐音的这些表示弦长比例的数也认为是和谐的。那么，这些和谐的数究竟有什么奇妙的特征呢？注意到

$$
\dfrac{1}{2}  : \dfrac{2}{3} : 1  =3:4:6
$$

它们的倒数刚好构成等差数列. $ 2,\dfrac{3}{2},1 $ 和 $ 1/3,1/4,1/6 $,也就是说：如果一个数列各项取倒数后成等差数列，那么原数列就称为调和数列，即和谐的一列数, 由此产生调和级数。

调和级数事实上是数列$ 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4}...\dfrac{1}{n},$的和。这个数列各项的倒数 $ 1,2,3,4,5,6...n $
显然就是等差数列，于是它们各项本身 确实也就构成了一个调和数列。

奥里斯姆早在 1350 年左右，证明了:

$$
\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \rightarrow \infty
$$

简单证明如下

$$
\begin{aligned}
\zeta(1) & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots \\
& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots \\
& \geq 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots \\
& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots \\
& \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$

#### 2. 欧拉的错误证明及正确结论

欧拉在 1735 年给出了给出了 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ 的证明。其证明过程一般假设是错误的，但是却得到了正确的结论。

欧拉最初推导 $\frac{\pi^2}{6}$ 的方法是聪明和新颖的。他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的。然而，欧拉没有证明此一假设，且此一假设在一般 情况下也是错误的。不过他计算了级数的部分和后发现，级数确实趋近 $\frac{\pi^2}{6}$ ，欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始:

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots
$$

两边除以 $x$ ，得:

$$
\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3 !}+\frac{x^4}{5 !}-\frac{x^6}{7 !}+\cdots
$$

现在， $\frac{\sin x}{x}=0$ 的根出现在 $x=n \cdot \pi$ ，其中 $n= \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ 我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因 式分解一样:

$$
\begin{aligned}
\frac{\sin x}{x} & =\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2 \pi}\right)\left(1+\frac{x}{2 \pi}\right)\left(1-\frac{x}{3 \pi}\right)\left(1+\frac{x}{3 \pi}\right) \cdots \\
& =\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4 \pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9 \pi^2}\right) \cdots
\end{aligned}
$$

如果把这个乘积展开，并把所有有 $x^2$ 的项收集在一起，我们可以看到， $\frac{\sin x}{x}$ 的二次项系数为:

$$
-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4 \pi^2}+\frac{1}{9 \pi^2}+\cdots\right)=-\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
$$

等式两边乘以 $-\pi^2$ 就可以得出所有平方数的倒数之和。

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$

#### 3.黎曼函数

黎曼在1859年的论文里给出了：《给定数值的素数个数》手稿。
第一积分表示: $\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \mathrm{~d} x$

完备化的 $\zeta$ ，即黎曼 $\xi$ 函数： $\xi(s)=\pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)$ ，满足函数方程 $\xi(s)=\xi(1-s)$

第二积分表示: $\varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$ ，则 $\xi(s)=\int_0^{\infty} \varphi(x) x^{\frac{s}{2}-1} \mathrm{~d} x$
黎曼 - 冯曼戈尔特公式: 以 $0<\mathrm{N}(T)$ 表示虚部介于 0 与 $\mathrm{T} 之$ 间的非平凡零点数量，则

$$
N(T)=\frac{T}{2 \pi} \log \frac{T}{2 \pi}-\frac{T}{2 \pi}+\mathrm{O}(\log T)
$$

黎曼猜想:  $\zeta$ 函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为 $\frac{1}{2}$

第三积分表示: $\zeta(s)=\frac{1}{2 \pi i} \Gamma(1-s) \oint_\gamma \frac{z^{s-1} e^z}{1-e^z} \mathrm{~d} z$ ，其中围道 $\gamma$ 逆时针环绕负实轴

黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法
零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值
素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系

## 黎曼猜想

黎曼猜想 (英语: Riemann hypothesis) 由黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题, 有 “猜想界皇冠”之称, 多年来它吸引了许多出色的数学 家为之绞尽脑汁。
其猜想为:
黎曼函数，
$\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$ 。非平凡零点 (在此情况下是指 $s$ 不为 -2
$-4 、-6 \cdots$ 等点的值) 的实数部分是 $\frac{1}{2}$ 。

黎曼猜想是关于黎曼函数 $\zeta(s)$ 的零点分布的猜想。黎曼函数在任何复数 $s \neq 1$ 上有定义。它在负 偶数上也有零点 (例如，当 $s=-2, s=-4, s=-6, \cdots$ )。这些零点是 “平凡零点”。黎曼 猜想关心的是非平凡零点。
黎曼猜想提出:
黎曼乙函数非平凡零点的实数部分是 $\frac{1}{2}$

##### 黎曼猜想为什么重要？

素数在自然数中的分布问题一直困扰数学家。而黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。在当今计算机RSA加密算法里，一个很重要的理论依据是：将两个大素数相乘很容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难。因此，可以将乘积公开，作为公钥发布。
比如：我们知道 $3*7=21$，电脑很容易算出 $ 3 * 7 =21$ ,但是，如果告诉你 $21$, 问他是哪两个素数相乘的，因为目前无法知道素数分布规律，那么计算机只能从  $1，2，3 ... \sqrt{21}$  一个个试着计算。 $21$ 只是简单2位数，如果一个数包含了2048位整数，要求求出他是哪 2 素数的乘积，就算是当今最快的计算机基础出来也需要1万年。如果通过黎曼猜想最终了解了素数分布规律，那么可能整个计算机加密解密体系就需要重新设计。

## 黎曼曲面

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被视为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个复结构），因为全纯函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面没有。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给与其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理就是这种影响的最佳例子。 下图显示了函数 $ f(z)=\sqrt{z} $ 的黎曼曲面
![图片](/uploads/2023-10/17f824.jpg)

## 柯西-黎曼方程

复分析中的柯西-黎曼微分方程 (英语: Cauchy-Riemann equations)，又称柯西-黎曼条件 提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。

在一对实值函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程:
(1a) $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
和
(1b) $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.
通常， $u$ 和 $v$ 取为一个复函数的实部和虚部: $f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)$ 。假设 $u$ 和 $v$ 在 开集 $C$ 上连续可微，则当且仅当 $u$ 和 $v$ 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)， $f=u+i v$ 是全纯的
下图展示了可视化的柯西-黎曼方程

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## 黎曼流形

黎曼流形 (Riemannian manifold) 是一个微分流形，其中每点 $p$ 的切空间都定义了点积，而且其数值随 $p$ 平滑地改变。它容许我们定义弧线长 度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。
每个 $\mathbf{R}^{\prime}$ 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把 $\mathbf{R}^{\prime \prime}$ 的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和 $\mathbf{R}^{\prime}$ 的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量 (intrinsic metric) 和上述从 $\mathbf{R}^n$ 导出的度量是相同的。 这对建立黎曼几何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间:
如果 $\gamma:[a, b] \rightarrow M$ 是黎曼流形 $M$ 中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度 $L(\gamma)$ 为

$$
L(\gamma)=\int_a^b\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t
$$

(注意: $\gamma^{\prime}(t)$ 是切空间 $M$ 在 $Y(t)$ 点的元素; \|\| 是切空间的内积所得出的范数。)
使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形 $M$ 很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在 $x$ 与 $y$ 两点之间的距离 $d(x, y)$ 定义为:
$d(x, y)=\inf \{L(\gamma): \gamma$ 是连接 $x$ 和 $y$ 的一条光滑曲线 $\}$
虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在: 那就是测地线。
在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。

## 黎曼空间

爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。
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先说个名词：空间（Space）。下面的叙述中，一定要正确理解它。比如，线空间，这里的意思就是线，点绝对不会离开这条线，这里“空间”就是这条线，而不是日常中提到的神马XX空间。进一步说下，在A4纸上画个线，如果提了线空间，也不要让脑子以为空间是那个A4纸。一定记住哦！又比如，面空间，那么就是面本身，上面的点和线绝对不会离开这个面。比如A4纸是个面空间，那么，即便你把纸卷一下，上面的任何点线也都不能离开这个纸面。Ok了，后面迷糊了就再到这里看一下这个词。好了，黎曼空间就是弯曲的空间。比如，弯曲的线空间，弯曲的面空间。这是定义。黎曼的重大作用就在于，改变了认识，就是思考的角度不同了。比如，在A4上画了一个曲线。一般的认识（欧氏里的认识）就是，在面空间上有了一个对象（就是线）。但是在黎曼看来，是在线空间上有了一个对象（还是那条线）。看到不同了吗？在欧氏几何里，要用二维或者三维空间，才能描述这条线。在黎曼几何里，用一维空间就可以！（即便是欧氏三维空间里的一条曲线）星星还是那个星星，但是，一切又都不一样了。

基标矢量:在笛卡尔系里，我们一般默认了尺规是单位1，一般也不标注。这里我们把它带上单位，这个单位带上方向就是基标矢量。

一句话总结，基矢量的导数是Christoffel符号，张量的梯度就是协变导数在此基础上G.Ricci发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础。（Christoffel符号就是群量）1915年，爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。
如下图早在1911年，爱因斯坦就提出，由于大质量天体对周边时空造成弯曲，远方恒星的光线，掠过太阳表面时会发生微小的偏转。1916年，爱因斯坦发表了广义相对论，进一步系统阐述了时空弯曲理论。英国天文学家爱丁顿率领一支远征队，不远千里特意赶到非洲普林西比岛最佳日全食观测点。1919年5月25日，在日全食状态下，观测到了远方星光经过太阳附近，发生了1.75"的偏转。
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## 黎曼映射

在数学中，黎曼映射定理是复分析最深刻的定理之一，此定理分类了 $\mathbb{C}$ 的单连通开子集。
定理陈述
设 $D:=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 为开圆盘， $\Omega \subset \mathbb{C}$ 为单连通开子集。若 $\Omega \neq \mathbb{C}$ ，则存在一对一的全纯映射 $f: \Omega \rightarrow D ，$ 使 $f^{-1}: D \rightarrow \Omega$ 亦全 纯。换言之， $\Omega$ 与 $D$ 双全纯同构。
注意到二维的全纯映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度与定向不变。

## 黎曼曲率张量

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有挠 率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络) $\nabla$ (或者叫协变导数)由下式给出:

$$
R(u, v) w=\nabla_u \nabla_v w-\nabla_v \nabla_u w-\nabla_{[u, v]} w .
$$

这里 $R(u, v)$ 是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。
注意有些作者用相反的符号定义曲率.
如果 $u=\partial / \partial x_i$ 与 $v=\partial / \partial x_j$ 是坐标向量场则 $[u, v]=0$ 所以公式简化为

$$
R(u, v) w=\nabla_u \nabla_v w-\nabla_v \nabla_u w
$$

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。
线性变换 $w \mapsto R(u, v) w$ 也称曲率变换。

## 黎曼-希尔伯特问题

希尔伯特问题: 给定 $P_1, \ldots, P_n \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \Omega:=\mathbb{C}-\left\{P_1, \ldots, P_n\right\}$ 及一个线性表示 $\rho: \pi_1\left(\Omega, x_0\right) \rightarrow G L(m, \mathbb{C})$ (给定 $x_0 \in \Omega$ )，是否存在一组 $\Omega$ 上的Fuchs方程，使得其单值群由 $\rho$ 给出?

此问题的答案决定于其表述：如果我们容许明显的奇异点 (即: 其单值群是平凡的)，并在复流形上的向量丛及其联络的意义下理解Fuchs方程， 则答案是肯定的; 否则存在反例。这是L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、P. Deligne与A. Bolibrukh等数学家的工作。[1][2][3][4][5] 此问题有时亦称为黎曼-希尔伯特问题。数学家柏原正树与Zoghman Mebkhout已借助D-模的抽象语言将此结果推广到高维情形，称作黎曼-希尔 伯特对应。

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