最后更新: 2023-10-02 19:50 查看: 379 次反馈刷题

欧拉 Euler

## 欧拉

欧拉，瑞士数学家、物理学家、天文学家、地理学家、逻辑学家和工程师。近代数学先驱之一。
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## 数学符号

欧拉引入许多数学符号，并通过他的许多教科书而广为流传。其中最为著名的是他引进了“函数”的概念，并且第一个用$f(x)$ 表示以 $x$ 为自变量的函数。他引入了三角函数现代符号表示法，以$e$表记自然对数的底（现在也称作欧拉数），用希腊字母 $\Sigma$ 表记累加求和和以$i$表示虚数单位。用希腊字母$\pi $ 来表示圆周率也由欧拉推广普及

## 欧拉公式

欧拉公式 (英语: Euler's formula) 是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数 关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 $x$ ，都存在

$$
e^{i x}=\cos x+i \sin x
$$

其中 $e$ 是自然对数的底数， $i$ 是虚数单位，而 $\cos$ 和 $\sin$ 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 $x$ 则 以弧度为单位 ${ }^{[1]}$ 。这一复数指数函数有时还写作 $\operatorname{cis} x$ (英语: cosine plus i sine，余弦加 $i$ 乘以正 弦)。由于该公式在 $x$ 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式 ${ }^{[2] 。}$
欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。
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**验证方法：**
请注意：虽然下面方法被广泛介绍，但由于在复数域中的泰勒级数展开、求导等运算均需要用到欧拉公式，这造成循环论证，且有些方法在函数的定义域和性质上语焉不详，故而下列方法均应为检验方法，而非严谨的证明方法。

把函数 $e^x 、 \cos x$ 和 $\sin x$ 写成泰勒级数形式:

$$
\begin{aligned}
& e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\cdots \\
& \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\cdots \\
& \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots
\end{aligned}
$$

将 $x=i z$ 代入 $e^x$ 可得:

$$
\begin{aligned}
e^{i z} & =1+i z+\frac{(i z)^2}{2 !}+\frac{(i z)^3}{3 !}+\frac{(i z)^4}{4 !}+\frac{(i z)^5}{5 !}+\frac{(i z)^6}{6 !}+\frac{(i z)^7}{7 !}+\frac{(i z)^8}{8 !}+\cdots \\
& =1+i z-\frac{z^2}{2 !}-\frac{i z^3}{3 !}+\frac{z^4}{4 !}+\frac{i z^5}{5 !}-\frac{z^6}{6 !}-\frac{i z^7}{7 !}+\frac{z^8}{8 !}+\cdots \\
& =\left(1-\frac{z^2}{2 !}+\frac{z^4}{4 !}-\frac{z^6}{6 !}+\frac{z^8}{8 !}-\cdots\right)+i\left(z-\frac{z^3}{3 !}+\frac{z^5}{5 !}-\frac{z^7}{7 !}+\cdots\right) \\
& =\cos z+i \sin z
\end{aligned}

## 欧拉恒等式

在欧拉公式里，当 $x=\pi$ 时，欧拉公式变为 $e^{i \pi}+1=0$ ，即欧拉恒等式。
欧拉恒等式把数学里常见的几个最基础变量 $e,i, \pi, 0$ 联系了起来，他被认为最美丽的恒等式。

## 欧拉函数

在数论中，对正整数 $n$ ，欧拉函数 $\varphi(n)$ 是小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的 数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 $\varphi$ 函数 (由高斯所命名) 或是 欧拉总计函数。
例如 $\varphi(8)=4$ ，因为 $1 、 3 、 5$ 和7均与 8 互质。
欧拉函数实际上是模 $n$ 的同余类所构成的乘法群 (即环 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的所有单位元组成 的乘法群) 的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

1736年，欧拉证明了费马小定理 :
假若 $p$ 为质数， $a$ 为任意正整数，那么 $a^p-a$ 可被 $p$ 整除。
然后欧拉予以一般化:
假若 $a$ 与 $n$ 互质，那么 $a^{\varphi(n)}-1$ 可被 $n$ 整除。亦即，
当 $n$ 为 1 至 100 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \quad(\bmod n) 。$
其中 $\varphi(n)$ 即为欧拉总计函数。如果 $n$ 为质数，那么 $\varphi(n)=n-1$ ，因此，有高斯的版本 ${ }^{[3]}$ : 假若 $p$ 为质数， $a$ 与 $p$ 互质 ( $a$ 不是 $p$ 的倍数)，那么 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ 。

## 柯尼斯堡七桥问题

柯尼斯堡七桥问题是《图论》中的著名问题。这个问题是基于一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？
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欧拉在1735年提出，并没有方法能圆满解决这个问题，他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中，证明符合条件的走法并不存在，也顺带提出和解决了一笔画问题。

这篇论文在圣彼得堡科学院发表，成为图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数，这样的点称为偶顶点。相对的，连有奇数条线的点称为奇顶点。欧拉论述了，由于柯尼斯堡七桥问题中存在4个奇顶点，它无法实现符合题意的遍历。
对七桥问题进行简化

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最终化简为：一笔能不能连通所有的点。
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图论在计算机系统里重要性极高，比如在日常生活中，打开地图App，选择从一个地方到另外一个地方，期间可能会有好多路径可以选择，而通过图论，可以为你找到最短路径，反映到地图App，这个地图最短的路径依靠的就是图论算法。

## 欧拉-马斯刻若尼常数

欧拉-马斯刻若尼常数是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值:

$$
\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)-\ln (n)\right]=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) d x
$$

它的近似值为 $\gamma \approx 0.577215664901532860606512090082402431042159335^{[1]}$, 欧拉-马斯刻若尼常数主要应用于数论。

该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用 $C$ 作为它的符号，并计算出了它的前6位 小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐.马斯凯罗尼引 入了 $\gamma$ 作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后 32 位。但后来的计算显示他在第 20 位的时候出现了错误。
目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数 将超过10242080。
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## 欧拉示性数

在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单连通多面体的边、顶点和面之间存在的关系：

$$
F-E+V=2
$$

其中， $F$ 为给定多面体的面数之和，E为边数之和， $V$ 为顶点数之和。这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可 以被嵌入一个流形 $M$ ，则:

$$
F-E+V=\chi(M)
$$

其中 $\chi$ 为此流形的欧拉示性数，在流形的连续变形下是不变量。单连通流形 (例如球面或平面) 的欧拉特征值是 2 。对任意的平面图，欧拉公式可 以推广为: $F-E+V-C=1$ ，其中 $C$ 为图中连通分支数。

特别的，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有

$$
\chi\left(S^2\right)=F-E+V=2 .
$$

例如，对于立方体，我们有 $6-12+8=2$ ，而对于四面体我们有 $4-6+4=2$. 刚才的公式也叫做欧拉公式。该公式最早由法国数学家笛卡儿于 1635 年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德欧拉于1750年独立证明了这个公式。1 860 年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称 为欧拉-笛卡儿公式。

欧拉建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和透过质心轴和垂直于两者的截面的转动惯量。

他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

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