最后更新: 2023-10-02 19:50 查看: 473 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

欧拉 Euler

## 欧拉

欧拉，瑞士数学家、物理学家、天文学家、地理学家、逻辑学家和工程师。近代数学先驱之一。
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## 数学符号

欧拉引入许多数学符号，并通过他的许多教科书而广为流传。其中最为著名的是他引进了“函数”的概念，并且第一个用$f(x)$ 表示以 $x$ 为自变量的函数。他引入了三角函数现代符号表示法，以$e$表记自然对数的底（现在也称作欧拉数），用希腊字母 $\Sigma$ 表记累加求和和以$i$表示虚数单位。用希腊字母$\pi $ 来表示圆周率也由欧拉推广普及

## 欧拉公式

欧拉公式 (英语: Euler's formula) 是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数 关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 $x$ ，都存在

$$
e^{i x}=\cos x+i \sin x
$$

其中 $e$ 是自然对数的底数， $i$ 是虚数单位，而 $\cos$ 和 $\sin$ 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 $x$ 则 以弧度为单位 ${ }^{[1]}$ 。这一复数指数函数有时还写作 $\operatorname{cis} x$ (英语: cosine plus i sine，余弦加 $i$ 乘以正 弦)。由于该公式在 $x$ 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式 ${ }^{[2] 。}$
欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。
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**验证方法：**
请注意：虽然下面方法被广泛介绍，但由于在复数域中的泰勒级数展开、求导等运算均需要用到欧拉公式，这造成循环论证，且有些方法在函数的定义域和性质上语焉不详，故而下列方法均应为检验方法，而非严谨的证明方法。

把函数 $e^x 、 \cos x$ 和 $\sin x$ 写成泰勒级数形式:

$$
\begin{aligned}
& e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\cdots \\
& \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\cdots \\
& \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots
\end{aligned}
$$

将 $x=i z$ 代入 $e^x$ 可得:

$$
\begin{aligned}
e^{i z} & =1+i z+\frac{(i z)^2}{2 !}+\frac{(i z)^3}{3 !}+\frac{(i z)^4}{4 !}+\frac{(i z)^5}{5 !}+\frac{(i z)^6}{6 !}+\frac{(i z)^7}{7 !}+\frac{(i z)^8}{8 !}+\cdots \

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