日期: 2023-10-06 14:10 查看: 231 次编辑

牛顿 Newton

牛顿，英国著名的物理学家、数学家。本文主要介绍牛顿的数学成就。
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## 牛顿流数

牛顿在1665年5月20日第一次提出“流数术”（即微积分雏形，流数英文称呼为 fluxion），在牛顿眼里，时间就像细沙一样不停的流逝（当然，从现代爱因斯旦的相对论观点看，牛顿的绝对时空观是错误的），所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。
与此同时，他还在1676年首次公布了他发现的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。 我们简单介绍一下牛顿是如何发现微积分的。

如下图：$ y=f(x)= a^{\frac{m}{n}} $ , 牛顿利用他的二项式公式证明了

![图片](/uploads/2023-10/a0264d.jpg)

对于函数  $ y=a x^{\frac{m n}{n}} \Longleftarrow z(x)=\frac{a n}{m+n} x^{\frac{m+n}{n}} $ 的积分，即如果 $F(x)= \frac{a n}{m+n} x^{\frac{m+n}{n}} $,那么围成他面积的$y$函数一定是 $  y=a x^{\frac{m n}{n}} $

然而，牛顿也知道，自己的推导过程出现了瑕疵，在流数里，一会为0，一会不为0，（从现代数学看，  $\frac{x}{sinx}$ 和 $ \frac{x^2}{sinx}$）虽然都是 $\frac{0}{0}$ 型，但是前则是等价无穷小，所以是1，而后者是高阶无穷小，所以是0， 这样  $\frac{0}{0}$ 型一会为1，一会不为0，牛顿解释不了，所以，牛顿的流数术一直只在几个朋友之间传阅而没有公开，直到莱布尼兹公开了微积分说是他先发现的微积分，牛顿才急了，公开了自己的流数术，并称自己是最早的微积分发现者。而现代教程里，普遍使用“牛顿-莱布尼兹”积分这个叫法来表示对两人同时的认可。

牛顿虽然创立了微积分，但无论是他还是莱布尼茨都可能没有真正理解微积分，今天教科书里不微积分定义是历经柯西、戴德金、魏尔特斯拉等大数学家一步步摸索出来的。

## 二项式定理

根据此定理，可以将 $x+y$ 的任意次幕展开成和的形式

$$
(x+y)^n=\left(\begin{array}{c}
n \\
0
\end{array}\right) x^n y^0+\left(\begin{array}{c}
n \\
1
\end{array}\right) x^{n-1} y^1+\left(\begin{array}{c}
n \\
2
\end{array}\right) x^{n-2} y^2+\cdots+\left(\begin{array}{c}
n \\
n-1
\end{array}\right) x^1 y^{n-1}+\left(\begin{array}{c}
n \\
n
\end{array}\right) x^0 y^n,
$$

其中每个 $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于 $\frac{n !}{k !(n-k) !}$ 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求 和符号，可以把它写作

$$
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) x^{n-k} y^k=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) x^k y^{n-k} .
$$

今天看平平无奇的一个排列组合推论，但是在没有排列组合概念的牛顿时代，这还是很了不起的，所以，有时候，我们不能用今天的眼光来看待过去的事情。就是五十年年，懂得量子物理的人都是教授级别的专家，但是到了现在，在初中教材里，就开始引入量子物理的基本概念。

## 牛顿迭代法

牛顿迭代法是牛顿提出的的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。对于很多高次方程，并没有通解公式，但是利用牛顿迭代法，可以快速求出其解，特别是随着计算机的发展，对于循环重复的计算是计算机的强项，使得数值分析成为计算机专业重要的理论课。

**原理**
我们设方程函数 $f(x)=m$, 改方程可以转化为 $g(x)=f(x)-m=0$ 我们只需要求出函数 $g(x)=0$ 的解，就可以求出 $f(x)=m$ 的解。
**牛顿迭代公式**
设 $r$ 是 $f(x)=0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 的初始近似值，则我们可以过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 做曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$, 我们知道切线与 $x$ 轴有交点，我们已知切线 $L$ 的方程为
$L: y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ 我们求的它与 $x$ 轴的交点为 $x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime}\left(x_0\right)}$. 我们在以 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ 斜率为 $f^{\prime}\left(x_1\right)$ 做斜线，求出与 $x$ 轴的交点，重复以上过程直到 $f\left(x_n\right)$ 无限接近于 0 即 可。其中第n次的迭代公式为:

$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}
$$

下图演示了入关通过五次循环求得方程的近似值。

![NewtonIteration_Ani.gif](/uploads/2023-10/a3055c.gif){width=450px}

求解根式

例如求解$\sqrt{x}$ 为多少？ 可以构造一个函数 $f(x)=x^2-c$, 令 $f(x)=0$ 那么$x$ 就是 $\sqrt{c}$ 的值。迭代公式: $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{c}{x_n}\right)$.代码中取初始值 $c$, 误差控制在 $1 \times 10^{-15}$.

使用Java编写代码就是：

```
public static double sqrt(double c) {
 
    if (c < 0) {
        return Double.NaN;
    }
 
    double err = 1e-15;
    double t = c;
 
    while (Math.abs(t - c/t) > err * t) {
        t = (c/t + t) / 2.0;
    }
 
    return t;
}

```

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