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柯西 Cauchy

柯西，法国数学家，他在数学方面有杰出的表现，被任命为法国科学院院士等大学的重要职位。1在1848年时，在巴黎大学担任教授。柯西一生写了789篇论文，这些论文编成《柯西著作全集》，由1882年开始出版。
他一生中最重要的贡献主要是在微积分学、复变函数和微分方程这三个领域。
![图片](/uploads/2023-11/7b9e58.jpg)

## 柯西不等式

柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

**基本形式**

$$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2
$$

公式变形为

$$
a c+b d \leq \sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}
$$

等号成立条件: 当且仅当 $a d=b c$ (即 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ) 时。

推广

$$
\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)\left(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\right) \geq\left(x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n\right)^2

**向量形式**

$$
|a| \cdot|b| \geq|a \cdot b|, a=\left(a_1, a_2\right), b=\left(b_1, b_2\right) .
$$

推广:

$$
|a| \cdot|b| \geq|a \cdot b|, a=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), b=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)
$$

**三角形式**

$$
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}
$$

等号成立条件: $a d=b c$ ， 且 $\mathrm{ac}+\mathrm{bd} \leq 0$ (即 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ )。

**概率论形式**

$$
\sqrt{E\left(X^2\right)} \sqrt{E\left(Y^2\right)} \geq|E(X Y)|
$$

**积分形式**

$$
\left(\int f(x) g(x) d x\right)^2 \leq \int f^2(x) d x \int g^2(x) d x
$$

**复数形式**

$$
\left|f^{(n)}\left(z_0\right)\right| \leq \frac{n ! M}{R^n} \quad(n=1,2,3, \ldots)
$$

其中， $\mathrm{M}$ 是 $|f(z)|$ 的最大值， $M=\max _{|x-a| \in R}|f(x)|$ 。

## 柯西序列

在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西序列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
![图片](/uploads/2023-11/ebf795.jpg){width=400px}

一个柯西序列 $\left(x_n\right)$ 的绘图，使用蓝色， $x_n$ 相对于 $n$ 。如果包含这个序列的空间是完备的，则这个序列的 “最终目标” 也就是极限存在

## 柯西-黎曼积分

复分析中的柯西-黎曼微分方程 (英语: Cauchy-Riemann equations)，又称柯西-黎曼条件 ${ }^{[1]}$ 。是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

在一对实值函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程:
(1a) $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

和
(1b) $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

通常， $u$ 和 $v$ 取为一个复函数的实部和虚部: $f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)$ 。假设 $u$ 和 $v$ 在开集 $C$ 上连续可微，则当且仅当 $u$ 和 $v$ 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)， $f=u+i v$是全纯的
柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式:
(2) $i \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}$.

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

$$
\left(\begin{array}{rr}
a & -b \\
b & a
\end{array}\right),
$$

其中 $a=\partial u / \partial x=\partial v / \partial y, b=\partial v / \partial x=-\partial u / \partial y$ 。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角 (保持角度不变) 的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

## 柯西积分定理

柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.
该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设 $\Omega$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 的一个开子集。
$f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个 $\Omega$ 上的全纯函数。函数 $f$ 在 $\Omega$ 内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。假设，起点为 $a$ ，则可以定义一个函数 $F: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$

$$
\forall b \in \Omega, F(b)=\int_{\gamma_a^b} f(z) d z=\int_a^b f(z) d z
$$

其中的 $\gamma_a^b$ 可以是任何以 $a$ 为起点， $b$ 为终点的分段可求长简单曲线。函数 $F$ 被称为 $f$ 的 (复) 原函数或反导数函数。[2]:422
柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。

## 柯西-欧拉方程

柯西-欧拉方程是形式如 $x^2 y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0$ (其中 $b, c$ 是常数) 的二阶变系数常微分方程。

解法
观察可知 $y=x^r$ 是一个特定解:

$$
\begin{aligned}
& 0=x^2 y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y \\
& =x^2 r(r-1) x^{r-2}+b x r x^{r-1}+c x^r \\
& =\left(r^2+(b-1) r+c\right) x^r
\end{aligned}
$$

因为 $x^r=0$ 当且仅当 $x=0$ ，所以要考虑二次方程 $r^2+(b-1) r+c=0$ 的解。

$$
r=\frac{1}{2}\left(1-b \pm \sqrt{b^2-2 b-4 c+1}\right) .
$$

设 $p, q$ 为二次方程的解。若 $p, q$ 不相等， $y$ 的一般解则为 $y=A x^p+B x^q$ 。
若 $p=q=(1-b) / 2$ ，其中一个特定解为 $x^r \ln x$ :

$$
\begin{aligned}
& x^2\left(x^r \ln x\right)^{\prime \prime}+b x\left(x^r \ln x\right)^{\prime}+c x^r \ln x \\
& =x^r\left(\ln x\left(r^2+(b-1) r+c\right)+2 r+b-1\right)
\end{aligned}
$$

代入 $r=(1-b) / 2$ 便知右方括号内等于 0 。因此核实 $x^r \ln x$ 是一个特定解。
于是，便有两个线性独立解，继而可得: $y=A x^r+B x^r \ln x$ 。
![图片](/uploads/2023-11/cf6b80.svg)
两个实根情况下二阶欧拉-柯西方程的典型解曲线

![图片](/uploads/2023-11/618fa1.svg)
重根情况下二阶欧拉-柯西方程的典型解曲线

![图片](/uploads/2023-11/3f9ae4.svg)
复根情况下二阶欧拉-柯西方程的典型解曲线

## 柯西-比内公式

线性代数中，柯西-比内公式 (Cauchy-Binet formula) 将行列式的可乘性 (两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积) 推广到非方块矩阵。假设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，而 $B$ 是一个 $n \times m$ 矩阵。如果 $S$ 是 $\{1, \ldots, n\}$ 中具有 $m$ 个元素的子集，我们记 $A_S$ 为 $A$ 中列指标位于 $S$ 中的 $m \times m$子矩阵。类似地，记 $B_S$ 为 $B$ 中行指标位于 $S$ 中的 $m \times m$ 子矩阵。柯西-比内公式说

$$
\operatorname{det}(A B)=\sum_S \operatorname{det}\left(A_S\right) \operatorname{det}\left(B_S\right)
$$

这里求遍 $\{1, \ldots, n\}$ 中 $m$ 个元素的所有可能子集 $S$ (共有 $C(n, m)$ 个)。
如果 $m=n$ ，即 $A$ 与 $B$ 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合 $S$ ，柯西-比内公式退化为通常行列式的可乘性。如果 $m=1$ 则有 $n$ 容许集合 $S$ ，这个公式退化为点积。如果 $m>n$ ，没有容许集合 $S$ ，行列式 $\operatorname{det}(A B)$ 是零 (参见空和 (empty sum) )。

这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将 $A B$ 的列写成系数来自 $B$ 的 $A$ 的列的线性组合，利用行列式的可乘性，将属于一个 $\operatorname{det}\left(A_S\right)$ 的项收集起来，并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式，得出 $\operatorname{det}\left(A_S\right)$ 的系数是 $\operatorname{det}\left(B_S\right)$ 。这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它。

如果 $A$ 是一个实 $m \times n$ 矩阵，则 $\operatorname{det}\left(A A^{\mathrm{T}}\right)$ 等于由 $A$ 中行向量在 $\mathbf{R}^n$ 中张成的平行多面体 $m$-维体积的平方。柯西-比内公式说这等于该平行多面体在所有 $m$-维坐标平面 (共有 $\mathrm{C}(n, m)$ 个) 的正交投影的平行多面体的 $m$-维体积的平方之总和。 $m=1$ 的情形是关于一条线段的长度，这恰是毕达哥拉斯定理。

柯西-比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式。该公式在子式一文给出。
例
如果 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right]$ 与 $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ 则柯西-比内公式给出行列式:

$$
\operatorname{det}(A B)=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & -1
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 2
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & -1
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array}\right|=-28
$$

## 柯西积分公式

柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。
设 $\Omega$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 的一个单连通的开子集。 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个 $\Omega$ 上的全纯函数。设 $\gamma$ 是 $\Omega$ 内的一个简单闭合的可求长曲线 (即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线)，那么函数 $f$ 在 $\gamma$ 内部的点 $a$上的值是:

$$
f(a)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a} d z .
$$

其中的积分为沿着 $\gamma$ 逆时针方向的积分。[2]:167
以上公式说明，全纯函数必然是无穷次可导的。这是因为假设以上的公式对函数 $f$ 的 $n$ 阶导数成立:

$$
f^{(n)}(a)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{f^{(n)}(z)}{z-a} d z .
$$

对上式等号右侧的积分进行 $n$ 次分部积分变换就可得到对 $n$ 阶导数的柯西积分公式:

$$
f^{(n)}(a)=\frac{n !}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} d z
$$

有时也称作柯西微分公式。右端是一个复可微的函数。这说明{\displaystyle f}f的n阶导数仍然是复可微的。所以依据数学归纳法可知{\displaystyle f}f是无穷次可导的，并且柯西微分公式对任意阶的导数都成立。

如果函数 f仅在 $\gamma$ 内部是全纯函数，在边界 $\gamma$ 上仅仅是连续函数，那么只有函数f的柯西积分公式成立，而微分公式不一定成立

## 柯西分布

柯西分布也叫作柯西-洛伦兹分布，它是以奥古斯丁·路易-柯西与亨德里克.洛伦兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为

$$
\begin{aligned}
& f\left(x ; x_0, \gamma\right)=\frac{1}{\pi \gamma\left[1+\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\
& =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\gamma}{\left(x-x_0\right)^2+\gamma^2}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $x_0$ 是定义分布峰值位置的位置参数， $y$ 是尺度参数，是半峰全宽/四分位距的一半。
作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner分布。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。
$x_0=0$ 且 $\gamma=1$ 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为

$$
f(x ; 0,1)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311147fdf159.png){width=400px}

## 柯西判别法

柯西判别法是判断一个实级数或数列收敛的方法。
级数 $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$ 收敛，当且仅当对于实数 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $N$ 使得对于任何 $n>N$ 及 $p \geq 1 ，\left|\sum_{i=n+1}^{n+p} a_i\right|<\epsilon$
。[1]
另一个说法是：数列 $A_i$ 收玫当且仅当对于任何实数 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $\mathrm{N}$ 使得对于任何 $i, j>N$ ， $\left|A_i-A_j\right|<\epsilon$ 。

## 柯西等式

柯西等式是光在特定透明材质下，其折射率和波长之间的经验关系，得名自1836年定义此等式的数学家奥古斯丁.路易.柯西。

柯西等式最通用的形式为

$$
n(\lambda)=B+\frac{C}{\lambda^2}+\frac{D}{\lambda^4}+\cdots,
$$

其中 $n$ 为折射率， $\lambda$ 为波长， $B, C, D$ 等为系数，针对特定材料，会调整系数使计算的折射率和量测结果相近。系数一般会以 $\lambda$ 为真空下的波长，单位为微米。

一般而言，柯西等式用到以下二项，已有一定的精准度：

$$
n(\lambda)=B+\frac{C}{\lambda^2},
$$

其中系数 $B$ 及 $C$ 是专门针对此公式下的系数。

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