最后更新: 2023-11-14 19:14 查看: 794 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

柯西 Cauchy

柯西，法国数学家，他在数学方面有杰出的表现，被任命为法国科学院院士等大学的重要职位。1在1848年时，在巴黎大学担任教授。柯西一生写了789篇论文，这些论文编成《柯西著作全集》，由1882年开始出版。
他一生中最重要的贡献主要是在微积分学、复变函数和微分方程这三个领域。
![图片](/uploads/2023-11/7b9e58.jpg)

## 柯西不等式

柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

**基本形式**

$$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2
$$

公式变形为

$$
a c+b d \leq \sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}
$$

等号成立条件: 当且仅当 $a d=b c$ (即 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ) 时。

推广

$$
\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)\left(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\right) \geq\left(x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n\right)^2

**向量形式**

$$
|a| \cdot|b| \geq|a \cdot b|, a=\left(a_1, a_2\right), b=\left(b_1, b_2\right) .
$$

推广:

$$
|a| \cdot|b| \geq|a \cdot b|, a=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), b=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)
$$

**三角形式**

$$
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}
$$

等号成立条件: $a d=b c$ ， 且 $\mathrm{ac}+\mathrm{bd} \leq 0$ (即 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ )。

**概率论形式**

$$
\sqrt{E\left(X^2\right)} \sqrt{E\left(Y^2\right)} \geq|E(X Y)|
$$

**积分形式**

$$
\left(\int f(x) g(x) d x\right)^2 \leq \int f^2(x) d x \int g^2(x) d x
$$

**复数形式**

$$
\left|f^{(n)}\left(z_0\right)\right| \leq \frac{n ! M}{R^n} \quad(n=1,2,3, \ldots)
$$

其中， $\mathrm{M}$ 是 $|f(z)|$ 的最大值， $M=\max _{|x-a| \in R}|f(x)|$ 。

## 柯西序列

在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西序列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
![图片](/uploads/2023-11/ebf795.jpg){width=400px}

一个柯西序列 $\left(x_n\right)$ 的绘图，使用蓝色， $x_n$ 相对于 $n$ 。如果包含这个序列的空间是完备的，则这个序列的 “最终目标” 也就是极限存在

## 柯西-黎曼积分

复分析中的柯西-黎曼微分方程 (英语: Cauchy-Riemann equations)，又称柯西-黎曼条件 ${ }^{[1]}$ 。是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

在一对实值函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程:
(1a) $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

和
(1b) $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

通常， $u$ 和 $v$ 取为一个复函数的实部和虚部: $f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)$ 。假设 $u$ 和 $v$ 在开集 $C$ 上连续可微，则当且仅当 $u$ 和 $v$ 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)， $f=u+i v$是全纯的
柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式:
(2) $i \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}$.

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

$$
\left(\begin{array}{rr}
a & -b \\
b & a
\end{array}\right),
$$

其中 $a=\partial u / \partial x=\partial v / \part

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：牛顿 Newton

下一篇：欧几里得 Euclid

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)