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欧几里得 Euclid

欧几里得（Euclid，约公元前325年—公元前265年）是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。曾受业于柏拉图学园。后应埃及托勒密国王邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学教学和研究工作。他一生治学严谨。所著《几何原本》共13卷，是世界上最早公理化的数学著作，影响着历代科学文化的发展和科技人才的培养。

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欧几里得通过5条公理和5条公设并基于点线面公设推导出整个的二维平面和三维空间中的几何，因此，欧几里得几何也被称为“**欧氏几何**”。

然而，其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯的时代，公设五就备受质疑，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即**非欧几何**（non-Euclidean geometry）。

## 几何原本

《几何原本》是欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右,《几何原本》总结了前人的几何知识和研究成果，用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，标志着几何知识从零散、片断的经验形态转变为完整的逻辑体系，深刻影响到后世数学的发展，采用的演绎结构被移植到其它学科后也同样促进了这些学科的发展

《几何原本》首先规定了以下五条公理：（所谓公理，就是公认的道理，无需证明。而公社，就是公认的假设，亦无需证明之结论），并由此来推导出其他的定理。

《几何原本》首先规定了5条公理和5条公设：

> **公理：**
> 1.等于同量的量彼此相等；
> 2.等量加等量，其和相等；
> 3.等量减等量，其差相等；
> 4.彼此能完全重合的物体是全等的；
> 5.整体大于部分。
> 
> **公设：**
> 1.过两点能作且只能作一直线；
> 2.线段(有限直线)可以无限地延长；
> 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
> 4.凡是直角都相等；
> 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

这些断言除了「公设5」外，都是显而易见的。

**《几何原本》给出的23条定义：**

1、点不可再分割。 2、线只有长度而没有宽度。

3、线的两端是点。 4、直线是它上面的线一样地平铺的线。

5、面只有长度和宽度。 6、面的边是线。

7、平面是它上面的线一样地平铺的线。

8、平面角是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。

9、当含有角的两条线成一条直线时，这个角称为平角。

10、当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

11、当一个角大于直角时，该角为钝角。 12、当一个角小于直角时，该角为锐角。

13、边界是物体的边缘。 14、图形是由一个边界或几个边界所围成的。

15、圆是由一条线围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接的所有线段都相等。

16、而且把这个点叫做圆心。

17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分。

18、半圆是直径和由它截得的圆周所围成的图形，而且半圆的心和圆心相同。

19、直线形是由直线所围成的，三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。

20、在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形。

21、此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。

22、在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且角不是直角的，叫做平行四边形；其余四边形叫做不规则四边形。

23、平行直线是在同一个平面内的一些直线，向两个方向无限延伸，在不论哪个方向他们都不相交。

## 几何原本章节大纲

《几何原本》共分13卷， 第一卷至第六卷的内容主要为平面几何。

第一卷：几何基础。本卷确立了基本定义、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。
第二卷：几何与代数。该卷主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学，主要包括大量代数定理的几何证明。
第三卷：圆与角。本卷阐述了圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。
第四卷：圆与正多边形。本卷讨论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷：比例。本卷对欧多克索斯的比例理论进行阐述，
第六卷：相似。本卷阐述了比例的属性，以及相似形的概念，包括了泰勒斯定理。

第七卷至第九卷主要阐述了数论。

第七卷：数论（一）。本卷内容包括整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等初等数论内容。
第八卷：数论（二）。本卷继续讨论初等数论，包括欧几里得辗转相除法、各种数的关系（如质数、合数、平方数、立方数等）。
第九卷：数论（三）。本卷设计了比例、几何级数，给出了许多重要的初等数论定理。
第十卷讨论了无理数。

第十卷：无理数。本卷定义了无理量（即不可公约量），并蕴含了极限思想（如穷竭法）。本卷篇幅最大，也较不易理解。
第11卷至第13卷主要讨论立体几何。

第11卷：立体几何。本卷论述立体几何；将第一卷至第六卷的主要内容推广至立体，如平行、垂直以及立体图形的体积。
第12卷：立体的测量。本卷重在讨论立体图形的体积，例如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以至球体的体积。
第13卷：建正多面体。本卷重点研究正多面体的作图。包含了五种正多面体的作图，并证明了不存在更多的正多面体。

## 《几何原本》第五公设与菲欧几何

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？并由此产生了罗氏几何，黎曼几何等。

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（1）**双曲几何**又名**罗氏几何**

1820年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧氏平行公设相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统在基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。此即数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。

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上图为一三角形于一双曲抛物面上，另外右下方有两条在欧式几何中应平行的分流线。

双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。
双曲几何还有一项性质，就是三角形的内角和小于一个平角（180°）。在极端的情况，三角形的三边长趋近于无限，而三内角趋近于0°，此时该三角形称作理想三角形。

（2）**椭圆几何**又名**黎曼几何**
微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪，黎曼把这个概念加以推广。 任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。

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上图里，可以证明三角形内角和大于180度。

下图显示了三种几何观点中，三角形内角和的不同。

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## 著作

除了《几何原本》之外，欧几里得至少另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明。

《给定量》（Data）研究几何问题中给定元素的性质和意义，内容与《几何原本》的前四卷有密切关系。
《图形的分割》（On divisions of figures）现存拉丁文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分，内容与希罗的作品相似。
《反射光学》（Catoptrics）论述反射光在数学上的理论，尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人质疑这本书是否真正出自欧几里得之手，它的作者可能是亚历山大里亚的忒翁。
《现象》（Phenomena）是一本关于球面天文学的论文，现存希腊文本。这本书与奥托里库斯（Autolycus of Pitane）所写的On the Moving Sphere相似。
《光学》（Optics）早期几何光学著作之一，现存希腊文本。这本书主要研究视觉问题的几何方面，叙述视线的入射角等于反射角等。

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欧几里得制作正十二面体

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