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笛卡儿 Descartes
日期:
2023-10-08 08:10
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笛卡儿 Descartes
笛卡尔，(法语：René Descartes；拉丁化：Renatus Cartesius ) , 法国哲学家、数学家和科学家,笛卡尔被公认为是近代解析几何的创始人之一。 {width=200px} ## 解析几何 卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学整合。在他的著作《几何》中，笛卡尔向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。笛卡尔在数学上的成就为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础，而后者又是现代数学基石。他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的解析几何。 此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等，还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。 在物理学方面，笛卡尔也有所建树。他在《屈光学》中首次对光的折射定律提出了理论论证。他还解释了人的视力失常的原因，并设计了矫正视力的透镜。力学上笛卡尔则发展了伽利略运动相对性的理论，强调了惯性运动的直线性。笛卡尔发现了动量守恒原理的原始形式(笛卡尔所定义的动量是一标量，不是向量，因此他的动量守恒原理后来也被证明是错误的)。他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响。 他还用光的折射定律解释彩虹现象，并且通过元素微粒的旋转速度来分析颜色。 ## 笛卡尔坐标系 在数学里，笛卡尔坐标系（Cartesian坐标系），也称**直角坐标系**，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。 采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。  直角坐标系 ## 笛卡儿积 在数学中，两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡儿积 (英语: Cartesian product)，又称直积，在集合论中表示为 $X \times Y$ ，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是 $X$ 的成员，第二个对象是 $Y$ 的成 员。 $$ X \times Y=\{(x, y) \mid x \in X \wedge y \in Y\} 。 $$ 举个实例，如果集合 $X$ 是13个元素的点数集合 $\{A, K, Q, J, 10,9,8,7,6,5,4,3,2\}$ ，而集合 $Y$ 是4个 元素的花色集合 $\{\bullet, \bullet ， \bullet\}$ ，则这两个集合的笛卡儿积是有 52 个元素的标准扑克牌的集合 $\{(A, \bullet),(K, \bullet$ )$, \ldots,(2, \bullet), \ldots,(A, \bullet), \ldots,(3, \bullet),(2, \bullet)\}$ 。 笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。 {width=300px} ## 笛卡儿叶形线 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在 1638 年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为: $$ x^3+y^3-3 a x y=0 . $$ 在极坐标中的方程为: $$ r=\frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta} . $$ 这个名字来自拉丁文的 folium，意思是 "leaf" (叶子)。 {width=300px} ## 等角螺线 等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。 等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系 $(r, \theta)$ 中，这个曲线可以写为 $$ r=a e^{b \theta} $$ 或 $$ \theta=\frac{1}{b} \ln \left(\frac{r}{a}\right), $$ 因此叫做 "对数" 螺线。 {width=300px} ## 笛卡尔数 笛卡尔数 (Descartes number) 指的是假若将其中一个合成数因数当成质数处理，就会变成完全数的奇数。这类数字以勒内. 笛卡尔为名，而这是 因为笛卡尔注意到说假若把 22021 当成质数处理的话，那么 $D=3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 22021=(3 \cdot 1001)^2 \cdot(22 \cdot 1001-1)=198585576189$ 就会满足完全数的条件 之故，而这是因为假若把 22021 当成质数处理的话，其正因数的和就会满足下式: $$ \begin{aligned} \sigma(D) & =\left(3^2+3+1\right) \cdot\left(7^2+7+1\right) \cdot\left(11^2+11+1\right) \cdot\left(13^2+13+1\right) \cdot(22021+1)=(13) \cdot(3 \cdot 19) \cdot(7 \cdot 19) \cdot(3 \cdot 61) \cdot(22 \cdot 1001) \\ & =3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19^2 \cdot 61 \cdot(22 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13)=2 \cdot\left(3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2\right) \cdot\left(19^2 \cdot 61\right)=2 \cdot\left(3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2\right) \cdot 22021=2 D, \end{aligned} $$ 当然在事实上，22021是一个合成数 $\left(22021=19^2 \cdot 61\right)$ ，因此 198585576189 并不是完全数，而198585576189是笛卡尔数的一个例子。 笛卡尔数可定义为满足 $n=m \cdot p$ 的奇数 $n$ ，在其中 $m$ 与 $p$ 互质且 $2 n=\sigma(m) \cdot(p+1)$ ，而此处的 $p$ 是一个被当成质数处理但实质上是合成数的“假质 数" (spoof prime) 。上面给出的例子是截至目前为止唯一已知的笛卡尔数的例子。 若 $m$ 是一个殁完全数， [注 1]，也就是说若 $\sigma(m)=2 m-1$ 且 $2 m-1$ 是一个 “假质数”，那么 $n=m \cdot(2 m-1)$ 就会是一个笛卡尔数，而这是因为 $\sigma(n)=\sigma(m \cdot(2 m-1))=\sigma(m) \cdot 2 m=(2 m-1) \cdot 2 m=2 n$ 之故; 而若 $2 m-1$ 是一个质数的话，那 $n$ 就会是一个奇完全数。 性质 班柯斯（Banks）等人在 2008 年证明说，若 $n$ 是一个无立方因子数，且 $n$ 不能为 3 所除尽，那么 $n$ 就会有超过一百万个彼此相异的质因数。 ## 笛卡儿闭范畴 在范畴论中，如果任何积的态射都可通过其某个因子的态射来自然确定，那么称该范畴具有笛卡儿闭性。此类范畴在数理逻辑和程序设计理论中尤为重要。 ## 笛卡儿符号法则 笛卡儿符号法则，首先由笛卡儿在他的作品La Géométrie中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。 如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数等于相邻的非零系数的符号的变化次数，或者比它依次小2的整倍数; 而负根的 个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的整倍数。 例如，以下的多项式 $$ x^3+x^2-x-1 $$ 在第二项和第三项有一个符号变化。因此它正好有一个正根。实际上，我们可以看到，这个多项式可以分解为: $$ (x+1)^2(x-1), $$ 因此它的根为 -1 (二重根) 和1。 把奇数次项变号，可得: $$ -x^3+x^2+x-1 . $$ 这个多项式有两个符号变化，因此这个多项式有 2 个或 0 个正根，原来的多项式有 2 个或 0 个负根。这个多项式可以分解为: $$ -(x-1)^2(x+1), $$ 因此根为 1 (二重根) 和 -1 。
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