最后更新: 2025-12-12 08:31 查看: 426 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

林德伯格-列维(独立同分布)中心极限定理★★★★★

## 大数定律与中心极限定理的区别

大数定律研究的是一系列随机变量 $\left\{X_n\right\}$ 的均值 $\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 是否会依概率收敛于其期望 $E \bar{X}_n$ 这个数值，而中心极限定理进一步研究 $\bar{X}_n$ 服从什么分布。若 $\left\{X_n\right\}$ 满足一定的条件(大量、微小)，当 n 足够大时， $\bar{X}_n$ 近似服从正态分布，这就是中心极限定理的主要思想，这也体现了正态分布的重要性与普遍性。

> 不同于大数定律，中心极限定理，不是从随机变量某个值的稳定性的角度来考虑稳定性的，而是**从分布的稳定性**来考虑随机变量的稳定性。

## 独立同分布释义
在解释林德伯格-列维中心极限定理前，先解释一下独立分布的意思。
独立和同分布描述的是随机变量之间两个**不同维度**的关系。

**独立**：关注的是变量之间是否相互影响。
知道 $X1$ 的结果，会不会改变我对$X2$ 结果的预测？如果独立，答案是不会。比如，抛硬币，第一次抛硬币的结果不会影响第二次。再如，车间送来一批产品，检测第一个是否合格不影响下一个是否合格，这些都是独立的意思。

**同分布** 通俗理解是**数据生成机制完全相同**，想象工厂生产一批产品。从同一条生产线、同一个工艺、同一个原料批次中产生，随机抽取产品测量其尺寸。那么，我们有足够的理由认为，每个产品的“母体”都是一样的。

如果用$X_i$ 代表第 $i$ 个产品的尺寸。同分布的意思是：每一个产品都来自同一个“母体”，其尺寸的波动（概率分布）是相同的。测量第1个产品和第1000个产品，它们尺寸的分布规律（均值、方差、形状）是一样的。

独立、同分布由此产生有下面四种组合：

### 独立同分布
例如从一个批人群中**有放回地**随机抽取样本。每个人被抽中的概率始终相同，且每次抽取不影响下次。 再如测量学生的身高，通过多测量几次，每次测量彼此不影响而且每次测量服从统一分布。 再如测量一批产品质量，每个产品质量不互相影响，而且服从统一分布。（这是我们研究的终点）

### 同分布但不独立
变量来源规则相同，但彼此有联系。例如从一个很少人群中**无放回地**抽样。虽然每个人最初被抽中的概率相同（同分布），但一旦某人被抽中，剩下的其他人被抽中的概率就变了，所以变量间不独立。

### 独立但不同分布
变量互不干扰，但来源规则不同。例子先抛一枚均匀硬币（分布A），再掷一个不均匀的骰子（分布B）。这两次实验是独立的，但它们的概率分布完全不同。

### 不独立不同分布
比如研究温度和时间的关系，通常一天温度随时间变换，而且分布也不同，这种基本上不是数学上要研究的，可以参考后续课程 随机数学。

##  林德伯格-列维中心极限定理

**林德伯格-列维中心极限定理**又称作**独立同分布中心极限定理** 设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，服从同一分布，其数学期望 $E X_k=\mu_k$ ， 方差 $D X_k=\sigma_k^2>0, k=1,2, \cdots$ ， 则随机变量

$$
Y_n=\dfrac{\sum_{k=1}^n X_k-E\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)}{\sqrt{D\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)}}=\dfrac{\sum_{k=1}^n X_k-n \mu}{\sqrt{n} \sigma}
$$

的分布函数$F_n(x)$ 对于任意 $x$ 满足

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} F_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\dfrac{\sum_{k=1}^n X_k-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqslant x\right\}=\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} d t
$$

这就称随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 服从独立同分布的中心极限定理．

证明略.

> **林德伯格-列维中心极限定理 描述了一个非常神奇且强大的现象：无论一个总体（或原始数据）的分布形状如何（无论是钟形的、均匀的、偏斜的甚至是奇怪的形状），只要从这个总体中反复抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些样本平均值的分布将总会近似于一个正态分布（即钟形曲线）。简单来说：样本均值的分布会趋于正态。**

从上面结论容易知道，当 $n$ 充分大时，近似地有

$$
\boxed{
Y_n=\dfrac{\sum_{k=1}^n X_k-n \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} \sim N(0,1) .
}
$$

或者说，当 $n$ 充分大时，近似地有

$$
\boxed{
\sum_{k=1}^n X_k \sim N\left(n \mu, n \sigma^2\right)
}
$$

### 理解: 林德伯格-列维中心极限定理
设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的期望（均值）和方差：
 **总体均值**：$E(X_i) = \mu$
 **总体方差**：$D(X_i) = \sigma^2 > 0$ （方差存在且不为零）

记这些随机变量的**样本均值**为：
$$
\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}
$$

那么，当样本量 $n$ 很大时（$n \to \infty$），样本均值 $\bar{X}_n$ 的标准化变量会**依分布收敛于标准正态分布**。

标准化变量 $Z_n$ 的计算公式为：
$$
Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
林德伯格-莱维中心极限定理的结论就是：
$$
Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1) \quad (n \to \infty)
$$
其中 $\xrightarrow{d}$ 表示“依分布收敛”，$N(0,1)$ 表示均值为0、方差为1的标准正态分布。

关键要点和解释

1. **独立同分布**：这是该定理成立的核心前提。要求每个样本点都是独立抽取的，并且都来自同一个总体分布。
2. **样本量要“足够大”**：多大会“足够大”？
  如果原始总体分布本身就很接近正态分布，那么即使样本量很小（比如 $n=15$），样本均值的分布也可能看起来是正态的。
  如果原始总体分布与正态分布相差较多（如高度偏斜、多峰），通常需要样本数超过30，这个30是一个经验值。

3.  **标准化过程**：公式 $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 非常重要。
    *   $\bar{X}_n$ 的均值仍然是 $\mu$。
    *   $\bar{X}_n$ 的标准差（也称为**均值的标准误**）是 $\sigma / \sqrt{n}$。这意味着样本量越大，样本均值的变化范围（波动性）就越小。
    *   减去均值 $\mu$ 再除以标准误 $\sigma / \sqrt{n}$，就是将样本均值的分布“转换”为均值为0、标准差为1的标准正态分布。
 
 
##  中心极限定理的通俗解释
中心极限定理通俗的解释就是：

>①样本的平均值约等于总体的平均值。②不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。

上面第

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