最后更新: 2025-02-16 10:59 查看: 16 次反馈刷题

李雅普诺夫中心极限定理

## 李雅普诺夫中心极限定理
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots$ 相互独立，分别具有数学期望和方差：

$$
E\left(X_k\right)=\mu_k, D\left(X_k\right)=\sigma_k^2 \neq 0 \quad(k=1,2, \cdots) .
$$

记 $B_n^2=\sum_{k=1}^n \sigma_k^2$ ．若存在正数 $\delta$ ，使得当 $n \rightarrow \infty$ 时，有

$$
\frac{1}{B_n^{2+\delta}} \sum_{k=1}^n E\left(\left|X_k-\mu_k\right|^{2+\delta}\right) \rightarrow 0
$$

则随机变量之和 $\sum_{k=1}^n X_k$ 的标准化随机变量

$$
Z_n=\frac{\sum_{k=1}^n X_k-E\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)}{\sqrt{D\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)}}=\frac{\sum_{k=1}^n X_k-\sum_{k=1}^n \mu_k}{B_n}
$$

的分布函数 $F_n(x)$ 对任意 $x$ 都满足

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} F_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^n X_k-\sum_{k=1}^n \mu_k}{B_n} \leqslant x\right\}=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} d t .
$$

这个定理说明，随机变量

$$
Z_n=\frac{\sum_{k=1}^n X_k-\sum_{k=1}^n \mu_k}{B_n}
$$

当 $n$ 很大时，近似地服从正态分布 $N(0,1)$ 。因此，埐 $n$ 很大时，随机变量

$$
\sum_{k=1}^n X_k=B_n Z_n+\sum_{k=1}^n \mu_k
$$

近似地服从正态分布 $N\left(\sum_{k=1}^n \mu_k, B_n^2\right)$ ．

这表明，无论随机变量 $X_k(k=1,2, \cdots)$ 具有怎样的分布，只要满足定理相互独立，并具有数学期望和方差条件，当 $n$ 很大时，它们的和 $\sum_{k=1}^n X_k$ 就近似地服从正态分布。在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往都可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似地服从正态分布。这就是正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因。

> 和列维-林德伯格定理相比， 他不再要求数据服从同一分布,也就是对要求进一步弱化。

## 三大中心极限定理区别
独立同分布的中心极限定理 
$\left.\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i-n \mu}{\sqrt{n} \sigma  }\right) \le x \right)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^{-\frac{t^2}{2}} d t=\Phi(x)$

李雅普诺夫定理
$\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i-\sum_{i=1}^n \mu_i }{\sqrt{\sum_{k=1}^n \sigma_k^2}} \leqslant x \right\}=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^{-\frac{t^2}{2}} d t=\Phi(x)$

棣莫弗－拉普拉斯定理
$\lim _{n \rightarrow \infty} P \left\{\dfrac{X-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leqslant x\right\}=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^{-\frac{t^2}{2}} dt =\Phi(x)$

刷题

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