伯努利方程

## 伯努利微分方程
形如 
$$
y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n} , (n \ne 0,1)
$$

的微分方程，称为**伯努利微分方程**，其中 $n \neq 0$ 并且 $n \neq 1{ }$ ，其中 $P(x) ， Q(x)$ 为已知函数，因为当 $n=0$ ，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布伯努利（Jacob Bernoulli）命名.

> 如何判断一个微分方程是否为伯努利方程：首先，拿到—道题，先把 $\frac{d y}{d x}$ ，也即一阶导数找到，**将其系数化为 1**，再看看剩下的代数式中把含有$y$的变量放在一起，他的系数组成了$P(x)$，与$y$无关的(主要是$y$高次代数式)放在等号的另一边，组成了$Q(x)$，然后再变形好了。

> 总之，最重要的一步，就是要将 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 找到。找到了，就完事大吉, 找不到就表示这个方程不是伯努利方程。

伯努利在1695年进行了研究该微分方程并给出了方程的解法。伯努利微分方程可以把变量替换成为线性微分方程。

将伯努利微分方程两端除以 $y^n$ ，得

$$
y^{-n} \frac{d y}{d x}+P(x) y^{1-n}=Q(x)
$$

作变量替换 $z=y^{1-n}$ ，则 $\frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x}$ 。代入上式，有:

$$
\frac{d z}{d x}+(1-n) P(x) z=(1-n) Q(x)
$$

这是以$z$为未知函数的一阶线性微分方程，由此方程解出 $z$ ，再由 $z=y^{1-n}$ 可得伯努利微分方程的解。

例如：
$$
x \frac{d y}{d x}+y=x^2 y^2
$$

以伯努利形式 $($ 用 $n=2)$ ) 重写它:

$$
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x y^2
$$

现在，用 $u=y^{-1}$ 我们得到:
$\frac{d u}{d x}-\frac{1}{x} u=-x$ ，它是一个线性微分方程。

**求解下面的伯努利方程**

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x) y^\alpha \quad(\alpha \neq 0,1, \alpha \text { 为常数 }),
$$

其中 $P(x), Q(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上连续．
解 当 $y \neq 0$ 时用 $y^\alpha$ 除方程两端，得

$$
y^{-a} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+P \cdot y^{1-a}=Q(x)
$$

注意 $y^{-\alpha} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{1-\alpha} \cdot \frac{\math

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