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伯努利方程

## 伯努利微分方程
形如 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n}$ 的微分方程，称为伯努利微分方程，其中 $n \neq 0$ 并且 $n \neq 1{ }^{[2]}$ ，其中 $P(x) ， Q(x)$ 为已知函数，因为当 $n=0$ ，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布 伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。

伯努利微分方程可以把变量替换成为线性微分方程，将伯努利微分方程两端除以 $y^n$ ，得

$$
y^{-n} \frac{d y}{d x}+P(x) y^{1-n}=Q(x)
$$

作变量替换 $z=y^{1-n}$ ，则 $\frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x}$ 。代入上式，有:

$$
\frac{d z}{d x}+(1-n) P(x) z=(1-n) Q(x)
$$

这是以$z$为未知函数的一阶线性微分方程，由此方程解出 $z$ ，再由 $z=y^{1-n}$ 可得伯努利微分方程的解。

例如：
$$
x \frac{d y}{d x}+y=x^2 y^2
$$

以伯努利形式 $($ 用 $n=2)$ ) 重写它:

$$
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x y^2
$$

现在，用 $u=y^{-1}$ 我们得到:
$\frac{d u}{d x}-\frac{1}{x} u=-x$ ，它是一个线性微分方程。

`例`求方程 $\frac{ d y}{d x}+\frac{y}{x}=a(\ln x) y^2$ 的通解.
解: 令 $z=y^{-1}$, 则方程变形为

$$
\begin{aligned}
& \frac{d z}{d x}-\frac{z}{x}=-a \ln x \\
& =e^{\int \frac{1}{x} d x}\left[\int(-a \ln x)\right. \\
& =x\left[C-\frac{a}{2}(\ln x)^2\right]
\end{aligned}
$$

其通解为 $z=e^{\int \frac{1}{x} d x}\left[\int(-a \ln x) e^{-\int \frac{1}{x} d x} d x+C\right]$

将 $z=y^{-1}$ 代入, 得原方程通解:

$$
y x\left[C-\frac{a}{2}(\ln x)^2\right]=1
$$

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