最后更新: 2025-08-28 18:14 查看: 479 次反馈同步训练

欧拉方程

## 欧拉方程
变系数的线性微分方程,一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程, 则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程, 因而容易求解, 欧拉方程就是其中的一种。

形如

$$
x^n y^{(n)}+p_1 x^{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} x y^{\prime}+p_n y=f(x) ...(9.1)
$$

的方程 (其中 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 为常数), 叫做欧拉方程.

作变换 $x= e ^t$ 或 $t=\ln x$, 将自变量 $x$ 换成 $t$, 我们有

$$
\begin{aligned}
& \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}=\frac{1 d y}{x d t} \\
& \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2 y}{d t^2}-\frac{d y}{d t}\right) \\
& \frac{d^3 y}{d x^3}=\frac{1}{x^3}\left(\frac{d^3 y}{d t^3}-3 \frac{d^2 y}{d t^2}+2 \frac{d y}{d t}\right)
\end{aligned}
$$

如果采用记号 D 表示对 $t$ 求导的运算 $\frac{ d }{ d t}$, 那么上述计算结果可以写成

$$
\begin{aligned}
& x y^{\prime}=D y \\
& x^2 y^{\prime \prime}=\frac{d^2 y}{d t^2}-\frac{d y}{d t}=\left(\frac{d^2}{d t^2}-\frac{d}{d t}\right) y=\left(D^2-D\right) y=D(D-1) y
\end{aligned}
$$

$$
x^3 y^{\prime \prime \prime}=\frac{d^3 y}{d t^3}-3 \frac{d^2 y}{d t^2}+2 \frac{d y}{d t}=\left(D^3-3 D^2+2 D\right) y=D(D-1)(D-2) y
$$

一般地, 有

$$
x^k y^{(k)}=D(D-1) \cdots(D-k+1) y
$$

把它代人欧拉方程 $(9-1)$ ，便得一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程. 在求出这个方程的解后，把 $t$ 换成 $\ln x$ ，即得原方程的解。

`例` 欧拉方程 $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}-3 y=0$ 满足 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=1$ 的解。

解： 令 $x= e ^t$ ，则 $t=\ln x, \frac{d y}{d x}=\frac{ d y}{d t} \frac{1}{x}, \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{ d ^2 y}{d t^2}-\frac{ d y}{d t} \frac{1}{x^2}$ ，
代人欧拉方程，得 $\quad \frac{ d ^2 y}{d t^2}+2 \frac{d y}{d t}-3 y=0$ ，
其特征方程为 $r^2+2 r-3=0$ ，特征根为 $r_1=-3, r_2=1$ ，故上方程的通解为

$$
y=C_1 e^{-3 t}+C_2 e^t
$$

变量还原得原方程的通解为 $y=\frac{C_1}{x^3}+C_2 x$ ，
则 $y^{\prime}=-\frac{3 C_1}{x^4}+C_2$ ，由 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=1$ ，得 $C_1=-\frac{1}{4}, C_2=\frac{1}{4}$ ，故所求满足初始条件的解为 $y=-\frac{1}{4 x^3}+\frac{1}{4} x$ ．

`例`求欧拉方程 $x^3 y^{\prime \prime \prime}+x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}=3 x^2$ 的通解.
解 作变换 $x= e ^t$ 或 $t=\ln x$, 原方程化为

$$
D(D-1)(D-2) y+D(D-1) y-4 D y=3 e^{2 t}
$$

即

$$
D^3 y-2 D^2 y-3 D y=3 e^{2 t}
$$

$$
\frac{d^3 y}{d t^3}-2 \frac{d^2 y}{d t^2}-3 \frac{d y}{d t}=3 e^{2 t}
$$

方程 (9-2) 所对应的齐次方

其他版本
【复变函数与积分变换】欧拉公式的证明【高中数学】欧拉公式与推导【离散数学】欧拉图和半欧拉图【高中数学】附录：平面的欧拉公式

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