最后更新: 2024-10-11 14:52 查看: 364 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

欧拉方程

## 欧拉方程
变系数的线性微分方程,一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程, 则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程, 因而容易求解, 欧拉方程就是其中的一种。

形如

$$
x^n y^{(n)}+p_1 x^{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} x y^{\prime}+p_n y=f(x) ...(9.1)
$$

的方程 (其中 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 为常数), 叫做欧拉方程.

作变换 $x= e ^t$ 或 $t=\ln x$, 将自变量 $x$ 换成 $t$, 我们有

$$
\begin{aligned}
& \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}=\frac{1 d y}{x d t} \\
& \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2 y}{d t^2}-\frac{d y}{d t}\right) \\
& \frac{d^3 y}{d x^3}=\frac{1}{x^3}\left(\frac{d^3 y}{d t^3}-3 \frac{d^2 y}{d t^2}+2 \frac{d y}{d t}\right)
\end{aligned}
$$

如果采用记号 D 表示对 $t$ 求导的运算 $\frac{ d }{ d t}$, 那么上述计算结果可以写成

$$
\begin{aligned}
& x y^{\prime}=D y \\
& x^2 y^{\prime \prime}=\frac{d^2 y}{d t^2}-\frac{d y}{d t}=\left(\frac{d^2}{d t^2}-\frac{d}{d t}\right) y=\left(D^2-D\right) y=D(D-1) y
\end{aligned}
$$

$$
x^3 y^{\prime \prime \prime}=\frac{d^3 y}{d t^3}-3 \frac{d^2 y}{d t^2}+2 \frac{d y}{d t}=\left(D^3-3 D^2+2 D\right) y=D(D-1)(D-2) y
$$

一般地, 有

$$
x^k y^{(k)}=D(D-1) \cdots(D-k+1) y
$$

把它代人欧拉方程 $(9-1)$ ，便得一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程. 在求出这个方程的解后，把 $t$ 换成 $\ln x$ ，即得原方程的解。

`例`求欧拉方程 $x^3 y^{\prime \prime \prime}+x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}=3 x^2$ 的通解.
解 作变换 $x= e ^t$ 或 $t=\ln x$, 原方程化为

$$
D(D-1)(D-2) y+D(D-1) y-4 D y=3 e^{2 t}
$$

即

$$
D^3 y-2 D^2 y-3 D y=3 e^{2 t}
$$

$$
\frac{d^3 y}{d t^3}-2 \frac{d^2 y}{d t^2}-3 \frac{d y}{d t}=3 e^{2 t}
$$

方程 (9-2) 所对应的齐次方程为

$$
\frac{d^3 y}{d t^3}-2 \frac{d^2 y}{d t^2}-3 \frac{d y}{d t}=0 ...(9-2)
$$

其特征方程为

$$
r^3-2 r^2-3 r=0 \text {, } ...(9-3)
$$

它有三个根: $r_1=0, r_2=-1, r_3=3$. 于是方程 (9-3) 的通解为

$$
Y=C_1+C_2 e^{-t}+C_3 e^{3 t}=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3 x^3
$$

根据上节第一目，特解的形式为

$$
y^*=b e^{2 t}=b x^2,
$$

代人原方程, 求得 $b=-\frac{1}{2}$, 即

$$
y^*=-\frac{x^2}{2}
$$

于是, 所给欧拉方程的通解为

$$
y=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3 x^3-\frac{1}{2} x^2
$$

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