最后更新: 2025-11-20 08:46 查看: 586 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二阶微分方程的实际案例

## 二阶微分方程的实际案例

`例` 质量为 $m$ 的质点受力 $F$ 的作用沿 $O x$ 轴作直线运动. 设力 $F$ 仅是时间 $t$ 的函数: $F=F(t)$. 在开始时刻 $t=0$ 时 $F(0)=F_0$, 随着时间 $t$ 的增大，此力 $F$ 均匀 的减少，直到 $t=T$ 时， $F(T)=0$. 如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求 这质点的运动规律.
由题设， $F(t)$ 随 增大而均匀地减少， $F(0)=F_0 \Rightarrow F(t)=F_0-k t$.
又 $\quad F(T)=0 \Rightarrow F(t)=F_0\left(1-\frac{t}{T}\right)$.
于是方程(4)可以写成

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}=\frac{F_0}{m} F(t)\left(1-\frac{t}{T}\right)
$$

其初始条件为

$$
\left.x\right|_{t=0}=0,\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0 .
$$

在方程(5)式两端积分，得

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{F_0}{m} \int\left(1-\frac{t}{T}\right) d t=\frac{F_0}{m}\left(t-\frac{t^2}{2 T}\right)+C_1 .
$$

代入初始条件 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0$, 得 $C_1=0$, 于是

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{F_0}{m}\left(t-\frac{t^2}{2 T}\right) \Rightarrow x=\frac{F_0}{m}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6 T}\right)+C_2,
$$

将条件 $\left.x\right|_{t=0}=0$, 代入上式，得 $C_2=0$. 于是所求质点的运动规律:

$$
x=\frac{F_0}{m}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6 T}\right), 0 \leq t \leq T .
$$

`例` 墙上有两个钉子，连接着一条绳子，绳子仅受
到重力作用而下垂，称之为悬链线，试推导此曲线方程.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230fce8d20.png)
解 建立坐标系 $x O y$ (见图 4-5)，设 曲 线 方 程 $y=y(x)$ ，使悬链线的最低点位于 $y$ 轴上，且 $|O A|=a$
(这个 $a$ 待定，将在下面给出说明)，则点 $A$ 坐标为 $(0, a)$. 这样就得到了初始条件: $\left.y\right|_{x=0}=\left.a ， y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ (由 于光滑曲线在最低点的切线平行于 $x$ 轴).
作受力分析:取一段弧 $A M$ (其中点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ) 设其弧长为 $s$ ，单位弧 长重 $\rho$ (密度)，则弧 $A M$ 所受的重力为 $\rho s$. 设在点 $A$ 处受到水平张力 $H$ ，在点 $M$ 处受到切向张力 $T ， T$ 与平行于 $x$ 轴的直线的夹角为 $\theta$ ，则在平衡状态下，应 有 $T \cos \theta=H \Sigma F_x=0$ 及 $T \sin \theta=\rho s$.

两式相除，得 $\tan \theta=\frac{\rho}{H} s$ ，由于 $\rho$ 是已知的，水平张力 $H$ 是可通过实验手段 获得，因此 $\frac{\rho}{H}$ 是已知的，不妨记为 $\frac{\rho}{H}=\frac{1}{a}$ (这就是 $a$ 的出处)，又 $\tan \theta=y^{\prime}$ ，即得

$$
y^{\prime}=\frac{1}{a} s, y^{\prime \prime}=\frac{1}{a} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x} .
$$

利用弧微分公式: $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ，得 $y^{\prime \prime}=\frac{1}{a} \sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ，
即得定解问题: $\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}=\frac{1}{a} \sqrt{1+y^{\prime 2}} \\ \left.y\right|_{x=0}=a,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0\end{array}\right.$.

令 $y^{\prime}=p$ ，则 $y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}$ ，原方程化为 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{a} \sqrt{1+p^2}$.
分离变量得 $\frac{\mathrm{d} p}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{1}{a} \mathrm{~d} x$ ，两边

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