最后更新: 2024-10-04 20:44 查看: 647 次反馈同步训练

微分方程的实际案例

## 微分方程的实际案例
本节讲述微分方程的几个实际案例，相关专业可选学此节内容.
在这一节我们会用到工程上常用的双曲函数和反双曲函数.
(1)双曲函数:
$\operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}, \operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}, \operatorname{th} x=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$ 分别称为双曲正弦、 双曲余弦和双曲正切.

(2)反双曲函数:
(1) $y=\operatorname{arsh} x$ 是 $x=\operatorname{sh} y$ 的反函数，反双曲正弦函数 $y=\operatorname{arsh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$;
(2) $y=\operatorname{arch} x$ 是 $x=\operatorname{ch} y$ 的反函数，反双曲余弦函数 $y=\operatorname{arch} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ ；
(3) $y=\operatorname{arth} x$ 是 $x=\operatorname{th} y$ 的反函数，反双曲正切函数 $y=\operatorname{arth} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$.

## 一阶微分方程的实际案例
`例` 设一物体的温度为 $100^{\circ} \mathrm{C}$ ，将其放置在空气温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的环境中冷却. 试求物体温度随时间 $t$ 的变化规律.
解 设物体的温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T(t)$, 在第一节的例 1 中我们 已经建立了该问题的数学模型

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}=-k(T-20) \\
\left.T\right|_{t=0}=100
\end{array} ，\right.
$$

其中 $k(k>0)$ 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解. 分离变量，得 $\frac{\mathrm{d} T}{T-20}=-k \mathrm{~d} t$

两边积分 $\int \frac{1}{T-20} \mathrm{~d} T=\int-k \mathrm{~d} t$, 得 $\ln |T-20|=-k t+C_1$ (其中 $C_1$ 为任意常数)， 即 $T-20=\pm \mathrm{e}^{-k t+C_1}=\pm \mathrm{e}^{C_1} \mathrm{e}^{-k t}=C \mathrm{e}^{-k t}$ (其中 $\left.C=\pm \mathrm{e}^{C_1}\right)$.
从而 $T=20+C \mathrm{e}^{-k t}$, 再将条件代入，得 $C=100-20=80$,
于是，所求规律为 $T=20+80 \mathrm{e}^{-k t}$.
注 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法 医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算 解决，等等.

`例` 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞 离开跳伞塔时 $(t=0)$ 速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212307598449.png)
解 设降落平下落速度为 $v(t)$, 降落伞下落时，同时 收到重力 $P$ 与阻力 $R$ 的作用(见图 4-3).
降落伞所受外力为 $F=m g-k v$.
根据牛顿第二定律: $F=m a$ ，得到 $v(t)$ 满足微分方程

$$
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v
$$

初始条件 $\left.v\right|_{t=0}=0$. 将方程(1)分离变量得

$$
\frac{\mathrm{d} v}{m g-k v}=\frac{\mathrm{d} t}{m}
$$

两边积分得

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} v}{m g-k v} & =\int \frac{\mathrm{d} t}{m}, \\
-\frac{1}{k} \ln (m g-k v) & =\frac{t}{m}+C_{1^{\prime}}
\end{aligned}
$$

即 $m g-k v=\mathrm{e}^{-k\left(\frac{t}{m}+c_1\right)}$ 或 $v=\frac{m g}{k}+C \mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}\left(C=-\frac{\mathrm{e}^{-k C_1}}{k}\right)$.
代入初始条件得 $C=-\frac{m g}{k}$ ，
故所求特解为 $v=\frac{m g}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}\right)$.

`例` 设河边点 $O$ 的正对岸为点 $A$ ，河宽 $O A=h$ ，两岸为平行直线，水流速度 为 $a$ ，有一鸭子从点 $A$ 游向点 $O$ ，设鸭子(在静水中)的游速为 $b(b>a)$ ，且鸭子游 动方向始终朝着点 $O$ ，求鸭子游过的迹线的方程.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a1bf61f.png)

解 设水流速度为 $\vec{a}(|\vec{a}|=a)$, 鸭子游速为 $\vec{b}(|\vec{b}|=b)$, 则鸭子实际运动速度为 $\vec{v}=\vec{a}+\vec{b}$.
取坐标系如图 4-4 所示，设在时刻 $t$ 鸭子位 于点 $P(x, y)$, 则鸭子运动速度 $v=\left(v_x, v_y\right)

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