最后更新: 2025-10-28 08:34 查看: 569 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多元函数的极值与最值

在生产实践中，我们常遇到求＂时间最短＂＂效益最大＂＂成本最低＂等最大值、最小值问题，而其中一些是多元函数的最值问题．如某种产品的收益问题，与生产这种产品的原材料的价格、产品的产量、劳动的成本、市场的需求及产品的广告宣传投人等因素有关。

与一元函数相类似，多元函数的最值问题是一个整体性的问题，而函数的极值问题是一个局部性问题，但二者有着密切的联系．下面讨论多元函数的极值问题与最值问题．

本节分两种情形讨论多元函数的极值问题．一种是自变量可以在定义域内自由变化的极值问题——无约束极值问题，也称为无条件极值；另一种是自变量除了受到定义域的限制外，还受到某种条件的限制时的极值问题——约束极值问题，也称为条件极值．

## 无条件极值

**定义** 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域 $U\left(P_0\right)$ 内有定义，如果对于任一点 $P(x, y) \in U\left(P_0\right)$ ，有 $f\left(x_0, y_0\right) \leqslant f(x, y)$（或 $\left.f\left(x_0, y_0\right) \geqslant f(x, y)\right)$ ，则称函数 $f(x, y)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处取得**极小值**（极大值），点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的**极小值点**（极大值点）．

函数的极小值与极大值统称为**极值**．极小值点与极大值点统称为**极值点**．极值点一定是函数定义域的内点．上述定义可以推广到 $n$ 元函数．

例如，函数 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值 0 ，函数 $z=1-\left(x^2+y^2\right)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值 1 ，而函数 $z=x y$ 在点 $(0,0)$ 处不能取得极值．

若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处取得极值，则固定 $y=y_0$ 时，$f\left(x, y_0\right)$ 在 $x= x_0$ 处取得极值；固定 $x=x_0$ 时，函数 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处必取得极值．由一元函数取得极值的必要条件可得：若 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处可偏导，则必有 $f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0$ ．

称使 $f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0$ 同时成立的点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的**驻点**（或称为临界点）．由上面分析可知：

## 可微函数取极值的必要条件
> 定理（函数取得极值的必要条件）如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$取得极值，且 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 可偏导，则点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 必为函数的驻点．

（1）点 $P(x_0,y_0)$ 称为函数 $f(x,y)$ 的**驻点**或**稳定点**，所以具有一阶偏导数的 $n$ 元函数，其极值点必定是驻点．
（2）若 $P(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的驻点且不为极值点，则称 $P(x_0,y_0)$为函数的**鞍点**。
（3）可微函数 $z=f(x, y)$ 在极值点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有水平切平面，且切平面方程为$z=f\left(x_0, y_0\right)$

从几何上看，$z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处可偏导且取得极值时，曲面在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$

其他版本
【数学分析】极值与黑塞矩阵 Hesse

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：三种算子的性质与迭代

下一篇：理解二元函数极值

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)