最后更新: 2025-10-29 15:19 查看: 554 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

理解二元函数极值

## 一元函数极值判定回顾

要想推导多元函数取得极值的判定条件公式，我们需要先弄明白什么条件下才会出现极值，我先从类比一元函数 $y=f(x)$ 的极值条件进行分析，首先我们要找到 $y^{\prime}=0$ 的点，确保该点的切线方向为水平位置，几何意义为在该处函数值变化率为 0 ，达到图像＂凹陷＂的底部或＂凸起＂的顶端，这样才能出现函数图像的极值，另外一种情况就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微．

![图片](/uploads/2025-10/f82b1c.jpg){width=500px}
 
 
但是这就能确定是极值了嘛，显然这个条件是不够的，下面我们来找一个反例：这就是典型的 $Y=X^3$
 
  ![图片](/uploads/2025-10/346c4f.jpg){width=300px}
  
 我们来看 $y=x^3$ 的图像，我们知道其导数为 $y^{\prime}=3 x^2$ ，很容易知道当 $x=0$ 时 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ，此时切线是水平平行于 $x$ 轴的，按常理理解图形在 $x=0$ 处会出现＂凹陷＂或 ＂凸起＂，但我们把其函数图像画出来可知，当 $x>0$ 时 $y>0$ ，当 $x<0$ 时反而 $y<0$ ，这样就会形成一个山腰间瀑布形状，出现了＂断崖＂而不是＂凹陷＂我们可以直观看到这个点肯定不是极值点，但是 $y^{\prime}$ 在 $x=0$ 处仍满足导数为 0 ，**说明仅仅导数为 0 这个条件是判定极值点的必要条件，而不是充分必要条件**
  
  
 下面我们来寻找需要增加的约束条件来判定函数的极值，我们以下图为例进行分析，我们可以从函数图像上看到，该函数分别有两个极值点，$x_1$ 为极大值点、 $x_2$ 极小值点，由于极值点具有对称性，故我们仅对极大值点 $x_1$ 分析就能够得到对应极小值的约束条件
 
 ![图片](/uploads/2025-10/2c4be2.jpg)
 
 我们看到当 $x=x_1$ 时，导函数 $y^{\prime}\left(x_1\right)=0$ ，其实从图像上很容易知道，当 $x<x_1$ 时函数图像是上升曲线此时导函数 $y^{\prime}>0$ ，而此阶段导函数的值是从正数在逐渐趋近于 0 （即在逐渐减小），那么可以推出一个条件：在从 $x$ 轴负方向逼近极大值点的过程中，导函数的变化速率 $y^{\prime \prime}<0$ ，当 $x>x_1$ 时函数图像呈现下降曲线此时导函数 $y^{\prime}<0$ ，而此阶段导函数的值是从 0 在逐渐变为负数（也在逐渐减小），导函数的变化速率也是 $y^{\prime \prime}<0$ ，故可以推出另一个条件：在向 $x$ 轴正方向逐渐远离极大值点的过程中，导函数的变化速率也满足 $y^{\prime \prime}<0$ ，故我们可以推断：

在出现极大值的整个过程中，导函数 $y^{\prime}$ 的值是从正数变为负数一直呈现下降的变化，那么意味着导函数的变化速率 $y^{\prime \prime}<0$ 在这个阶段中一直成立

很显然将以上所有条件统一后可得：在 $x=x_1$ 处，若同时满足 $y^{\prime}=0, y^{\prime \prime}<0$ ，那么该点为极大值点

同理，由对称性可以知道：在 $x=x_2$ 处，若同时满足 $y^{\prime}=0, y^{\prime \prime}>0$ ，那么该点为极小值点
（这里值得说明的是，导函数的变化速率 $y^{\prime \prime} \neq 0$ ，我们仍可以从 $y=x^3$ 来看到，其二阶导函数 $y^{\prime \prime}=6 x$ 在 $x=0$ 处等于 0 ，显然该点并不是极值点，故二阶导为 0 不能够作为判定条件）
 
 为此，我们增加了二阶导数，进行判断，即

设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left\{\begin{array}{l}\text { 若 } f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0, \text { 则 } x_0 \text { 为极小值点；} \\ \text { 若 } f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0, \text { 则 } x_0 \text { 为极大值点；} \\ \text { 若 } f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, \text { 则不能判断．}\end{array}\right.$

## 二元函数极值判定
  
 对于二元函数极值，可以是一元极值的推广，只是把**切线变成了切面**。

我们定义如果一个二元函数有切平面，那么他就是可微的。这意味这，如果函数可微，就可以找到一个切平面，在切点$(x_0,y_0)$处就是函数的极值， 但是，这个条件还不充分，最常见的是鞍马面，此时点P处的切平面存在（参考下图），但不是极值点。
 
![图片](/uploads/2025-10/32f36a.jpg){width=400px}
  
 
现在我们再来分析一下切平面：从高中立体几何里，我们知道，2条相交的直线可以确定一个平面，所以，**切平面就可以用两条切线来表示**。
 $  u=\frac{\partial f}{ \partial x}   $
$ v=\frac{\partial f}{ \partial y}  $
 
  ![图片](/uploads/2025-10/f141ad.jpg){width=400px} 
  
**对于X水平切线，以P为中心，让他绕着平行于ZOY 的坐标平面旋转
这样就相当于切平面以P为中心，绕着X轴进行了旋转。**

把上面图提取出来，重新化在一个坐标系里，简化示意图如下

![图片](/uploads/2025-10/553130.jpg){width=250px}
 
  
假设旋转了$\theta$角度，(这里引入了参数$\theta$) ，切平面上的切线斜率，就变成
$$
\frac{d u}{d n}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial x}+

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【数学分析】极值与黑塞矩阵 Hesse

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